Глава 93 Третий метод
Всё так же, как и в предыдущей задаче. Есть текущие баллы... Ну, если ты сможешь решить эту задачу, я тебе гарантирую минимум 90 баллов за весь семестр.
Пока студенты внизу размышляли над задачей, Лю Бинь продолжил:
Он прекрасно понимал сложность этой задачи и поэтому предложил за нее солидную награду.
Под таким вознаграждением обязательно найдется отважный человек!
В следующую секунду кто-то поднял руку.
Все были в шоке: эта задача выглядела очень сложной, кто же её так быстро решил?
Они посмотрели туда, и все сразу поняли: это же Сяо Шэнь!
Почти забыл, что Сяо И тоже пришёл на занятия.
А в это время Сяо И, поднявший руку, был полон желания попробовать.
Обычно он дает гарантию на 90 дней.
Хотя это не полный балл, все равно стоит поднять руку. Да и на первой же лекции нужно было хотя бы как-то проявить активность!
Конечно, самое главное, что эта задача внезапно дала ему идею о том, как может быть решена гипотеза о близнецах.
Может быть, если он попытается решить эту задачу, это принесёт ему неожиданные результаты?
Однако, увидев, что Сяо И поднял руку, Лю Бинь улыбнулся и сказал:
— Ты исключение.
Лицо Сяо И сразу исказилось, в чем причина?
— Не говорили ли мы об этом раньше? Твои оценки не зависят от поведения на уроках, ведь ты и так не ходишь туда.
Обвиняю!
Это точно обвинение!
Как можно так на ровном месте опорочить человека?
Он оправдывался:
— Сейчас я на уроке!
— Извините, Шэо-тун, право на объяснение у меня.
Лю Бинь развел руками.
В классе тут же раздался хохот.
Сяо И широко раскрыл глаза. «Ну и парень! — подумал он. — Правда, не ожидал, что профессор Лю такой остроумный!»
Но вот, тут же тон Лю Биня изменился:
— Конечно, если вы просто хотите решить эту задачу, я с радостью помогу вам, но у меня есть одно условие.
— Вы должны решить её по крайней мере двумя способами.
В уголках глаз у Сяо И дрогнул нерв – как можно так преподавать!
Студент добровольно поднял руку, чтобы решить задачу, но ему пришлось выдвинуть условия!
Но...
Рука уже поднята, значит, будем действовать!
Хотя бы где он ни делал это, всё равно ему иногда казалось, что-то вроде магии: когда он смотрел на широкую пустоту доски, в его сердце словно просыпались какие-то идеи.
Вот почему, наверное, даже самые выдающиеся математики так любят доску и мел.
— Но всё же он с укоризной сказал:
— Ладно, кто же вам скажет, что вы профессор!
Лю Бинь рассмеялся и сказал:
— Теперь ты можешь подниматься.
Сяо И неохотно покачала головой и встала со своего места, подойдя к доске.
Студенты внизу прекратили смех и затаили дыхание, глядя на своего Сяо Шэна.
Если бы раньше Сяо И опубликовал потрясающую статью в топовом журнале, или доказал давно мучающий математиков замысел, или разработал серьезный теоретический фундамент, для них это было бы всё равно что воздушное строение — они знали только, что это круто, но не понимали, насколько круто.
Но сейчас, когда перед ними стояла задача, которую они сразу определили как довольно сложную, и пока не могли придумать, как ее решить, Сяо И не только тут же поднял руку, но и, столкнувшись с требованием профессора Лю решить задачу двумя способами, сохранил полную уверенность.
Они могли оценить такой уровень мастерства.
Только вот сможет ли Сяо И действительно придумать два способа?
Первый способ.
Взойдя на сцену, Сяо И не стал терять время на раздумья и сразу приступил к письму.
— Рассмотрев это уравнение, мы легко увидим его эквивалентность доказательству.
limit as n → +∞ of [ (n * ln(n)) / ln(aₙ) ] = 1
Как только этот эквивалент появился, студенты внизу тут же опешили.
Ты так просто называешь это эквивалентом?
Ты как вообще это считаешь эквивалентным?
Только немногие ученики после короткого размышления поняли.
Вот так.
Рядом стоявший Лю Бинь тоже удовлетворенно кивнул, хотя и не был удивлён. Но поразительная наблюдательность Сяо И всегда восхищала его.
Конечно, эту задачу нельзя решить просто после того, как найдена эквивалентность.
Прежде всего имеем: pn > n, поэтому lim (n → +∞) inf (ln pn) / ln n ≥ 1.
Из теоремы о простых числах следует, что для *l* > 1 всегда lim(n→+∞) sup(pn)/n*l* = 0.
Следовательно, из произвольности l > 1 следует...
И наконец, согласно теореме Стольца, получаем: lim(n→+∞) ... = 1.
Доказательство завершилось.
Увидев это утверждение о простом числе и вспомнив теорему Стольца, которую они только что использовали в предыдущей задаче, большинство учеников тут же сдались.
Не могу, совсем не могу.
Если бы не увидели способ Сяо И, они бы точно не смогли придумать, как использовать эти две теоремы подряд.
В особенности теорема о простых числах относится к задачам математических олимпиад средней школы. Для учеников класса Хуа Логэн она была уже известна. Когда они увидели, как Сяо И ее применил, у них возникло ощущение, будто кто-то открыл им глаза.
Вот и Сяо Шэнь!
— Теперь – второй метод.
После того как он решил задачу первым методом, Сяо И начал новый абзац и приступил к описанию второго.
Если первый метод можно было назвать хитростью, то второй — прямое доказательство.
Как и в предыдущей задаче, когда Е Чэн использовал метод прямого доказательства.
В то же время этот метод выглядит более эффектным.
В присутствии 29 одноклассников, поражённых его умением, Сяо И почти использовал все методы, изученные ими в математическом анализе, чтобы решить эту задачу.
Хорошо!
Е Чэн тотчас вскочил на ноги и энергично захлопал в ладоши:
— Достойно, брат мой Сяо!
Другие ученики тут же отреагировали и стали хлопать.
Сяо Шэньню — бомба!
Стоявший сбоку от доски Лю Бинь тоже улыбнулся и аплодировал. Поднявшись на сцену, он сказал Сяо И: — Хорошо, очень хорошо! Похоже, для тебя такие задачи не составляют труда.
Сяо И скромно покачал головой и сказал: — Вы просто ещё не придумали более сложных задач.
Лю Бинь поджал губы и сказал: — Если это не сложно, то ты хочешь ещё более сложных задач?
Он махнул рукой и сказал: — Ну ладно, возвращайся на своё место.
Однако в этот самый момент Сяо И сказал: — Профессор, неужели бы Вы могли подождать немного? У меня есть ещё один метод, который я хотел бы попробовать.
Еще один метод? — Лю Бинь удивился, но затем кивнул: — Ну, тогда пробуй.
Сидевшие ниже ученики тоже слегка удивились.
Неужели двух методов недостаточно?
Хочешь воспользоваться даже третьим методом?
Е Чэн: — Отступите, брат Сяо собирается показать свою крутость!
…
Сяо И стоял на другой стороне доски, в голове его мелькала мысль о том, как применить метод фильтрации.
— Ммм...
Пока ничего не приходит в голову, но все же сначала попробуем решить эту задачу методом фильтрации.
— Мне нужно сначала попробовать метод Сильберга?
Думая так, он начал писать.