Глава 292 Доклад о гипотезе Римана часть IV
Далее процесс доказательства гипотезы Римана значительно ускорился, ведь уже были изложены все важные этапы, включая то, как в самом начале Сяо И рассказал о процессе придания гипотезе Римана галловской формы, описанном в его четвертой статье.
Поэтому оставшиеся основные моменты сводились главным образом к решению тех или иных технических вопросов по ходу работы до достижения успешного вывода о доказательстве гипотезы Римана.
И вот незаметно прошло ещё около часа.
Время уже перевалило за 16:00, а нижняя часть доклада продолжалась уже два часа.
Большинство зрителей, присутствовавших там, к тому времени уже немного уставших.
Особенно те, кто сидел в последних рядах.
Среди них были и профессора-математики, и студенты, и любители, и другие.
Для них эта лекция не была такой же, как для выдающихся математиков, которые воспринимали её как художественное событие.
Они рассматривали эту лекцию как собрание, где можно было стать свидетелем чуда.
Только вот беда: до того, как они могли стать свидетелями чуда, создателю самого великого чуда пришлось прочитать с ними несколько часов заклинаний для призыва.
Эти заклинания: каждое слово они могли и понять, но как только соединить их вместе, то становилось совершенно непонятным.
Так что они стали немного путаться в мыслях.
Но в этот самый момент Сяо И внезапно сказал:
— Итак, теперь у нас есть пятое предположение: если для любой CM-эллиптической кривой E λ_E является автоморфным представлением, то гипотеза Римана верна.
Эти слова тут же активировали ключевые слова, и многие присутствующие, которые до этого были рассеянны, сразу напряглись и обратили внимание на Сяо И.
Наконец-то он пришёл?
То чудо, которое они хотели увидеть, наконец-то вот-вот произойдёт.
— В конечном итоге это предположение успешно свело гипотезу Римана к проблеме о характеристиках Хекке.
— Поэтому, чтобы доказать гипотезу Римана, нам нужно всего лишь доказать, что все Hecke-характеристики CM-эллиптических кривых являются автоморфными.
— В этот момент мы можем продолжить использовать подход, который был использован при доказательстве гипотезы Артина: рассматривая каждую CM-эллиптическую кривую как вложение в общую модульную кривую и затем используя модульность общей модульной кривой для доказательства автоморфности λ_E.
— Таким образом, получаем следующее: для любой CM-эллиптической кривой E существует общая модульная кривая X и вложение i: E → X, которое индуцирует изоморфизм между характеристиками Hecke.
— Lambda Ex
Среди них λ_X — это характеристика Хекке X, а i_* — гомоморфизм между группами Галуа, индуцированный i.
Теперь мы можем получить результат, справедливый для любой CM-эллиптической кривой E. У нас есть обобщённая модульная кривая X и вложение i: E → X, такое, что λE = λX * i*.
Согласно доказательству гипотезы Артана, λ_X — это самосопряжённое представление. Следовательно, λ_Eλ_X i_* также является самосопряжённым представлением.
Достигнув этого, обратимся к ранее нами приведённому утверждению: L(s, E) имеет все нули на прямой Re(s) = 1/2 тогда и только тогда, когда λ_E — это самосопряжённое представление.
Следовательно, это эквивалентно тому, что все нетривиальные нули функции Римана ζ лежат на прямой Re(s) = 1/2 в комплексной плоскости.
Дойдя до этого места, Сяо И сделал паузу, и перо, которым он писал на доске, замерло.
Затем он повернулся к зрителям, широко расставив руки, и сказал:
— Таким образом, гипотеза Римана доказана.
— Риман XIX века, наверное, не мог предположить, что его случайно написанная восьмистраничная статья в итоге оставит математический мир такой задачей, которая на протяжении более ста лет мучает умы.
— Но вот до сих пор, думаю, могу официально заявить вам: эта проблема стала историей.
— Я верю, что это для математики — заслуживающее памяти достижение. Но конечно же, ко всему в жизни нужно смотреть с точки зрения развития. Доказательство гипотезы Римана — лишь наша промежуточная победа. Впереди нас ждут ещё много вопросов, которые мы должны открыть и исследовать.
— Хорошо, вот и всё, что я хотел сказать в своём докладе.
— Спасибо за внимание, теперь….
В тот момент, когда Сяо И собирался произнести следующее, зал зааплодировал.
Те зрители, которые уже давно были готовы аплодировать, услышав слова благодарности Сяо И, тут же разразились овациями.
Но увидев беззаботное выражение лица Сяо И, они поняли, что ещё не время.
И аплодисменты вновь постепенно утихли.
Сяо И безразлично пожал плечами и обратился к собравшимся:
— Итак, следующий этап — вопросы.
— Сейчас у всех есть возможность задать мне любые вопросы о моём доказательстве.
С окончанием слов Сяо И в зале воцарилась тишина. Те, кто не имел вопросов или не мог их сформулировать, смотрели по сторонам, желая узнать, сможет ли кто-нибудь из присутствующих задать вопрос.
Хотя и раньше, когда многие учёные только что ознакомились с его работой, у многих математиков в душе оставались некоторые сомнения.
Но во время рассказа Сяо И эти вопросы были практически решены.
А сейчас, если у кого-то ещё остались вопросы, то они будут уже довольно изощрёнными.
Ожидание не затянулось долго, и все же кто-то из присутствующих поднял руку.
Петр Шольц.
Увидев его, никто не был удивлён, ведь как один из самых выдающихся математиков в области арифметической геометрии, он мог найти любую проблему, и это было вполне ожидаемо.
Люди также стали интересоваться, что же сможет предложить этот математик, который когда-то славился своим гением, а теперь перешагнул 40-летний рубеж.
На сцене Сяо И слегка улыбнулся и сказал:
— Петр, задавай свой вопрос.
Шольце тоже улыбнулся и кивнул Сяо И. Глядя на него, он словно вспомнил тот день, когда отправил ему электронное письмо с приглашением принять участие в академической конференции по сомнениям в доказательстве гипотезы abc Синити Мотидзуки.
В то время он считал, что Сяо И обязательно станет новой звездой математического мира.
Только вот тогда он не мог предположить, что всё пойдет так быстро, даже превзойдя его самые смелые ожидания.
Приняв от сотрудника микрофон, он сказал:
— Хорошо, Сяо, хотя и нужно сказать, что каждый из нас с нетерпением ждет доказательства гипотезы Римана, но в то же время мы не будем легко позволять ей быть доказанной. «Поэтому мой вопрос заключается в том — в вашем доказательстве есть один ключевой момент, который заключается в связывании функции Римана-Зетта с L-функцией эллиптических кривых». «Здесь вы рассматриваете CM-эллиптические кривые и, используя их особые свойства, доказываете, что их L-функции имеют нули только на критической прямой. Но здесь есть одна проблема: не все эллиптические кривые являются CM-кривыми».
— А ваша методика применима только к CM-эллиптическим кривым, а для обычных эллиптических кривых нельзя разложить их L-функции как произведение ζ-функции и L-функций Дирихле, как это делается с CM-кривыми. «Поэтому можете ли вы объяснить это?»
После этого он положил трубку и спокойно смотрел на Сяо И. Несмотря на то что он всегда высоко ценил доказательства Сяо И, он все же смог найти в них изъян.
И как только эта проблема была озвучена, многие из присутствующих были ошеломлены. Эта проблема… Они тотчас вздрогнули и сглотнули слюну.
Это же вопрос, касающийся самого сердца дела. Если он будет неудачным, то это будет как здание, построенное из самых сложных конструкций, но если один несущий элемент разрушится, то вся конструкция рухнет. Так сможет ли Сяо И дать ответ?
Все взгляды обратились к Сяо И. Но они увидели, что Сяо И лишь слегка улыбнулся и затем сказал:
— Хороший вопрос.
— Это действительно то, чего я не объяснил достаточно подробно в процессе доказательства. «Но, наверное, потому что я думал… этот вопрос довольно понятен?»
Все присутствующие тут же озадачились. Что? Этот вопрос, как только они его услышали, почувствовали, что он довольно сложный, а результат – Сяо И сказал, что это очень легко понять? После этого Сяо И начал отвечать. Сначала он признал описание проблемы, поставленной Шольцем.
— Ваши наблюдения верны, большинство кривых CM эллиптических функций действительно определены над расширением поля чисел, и в этом случае мы получаем нечто вроде ζ-функции и L-функции Дирихле.
— Но, — тут его тон изменился: — “хочу подчеркнуть, что эти аналоги, хотя и могут не удовлетворять классическим уравнениям функциональных зависимостей, все же подчиняются какому-то обобщенному уравнению функциональной зависимости.”
— Это обобщенное уравнение функциональной зависимости, хотя и формально может быть более сложным, по своей сути совпадает с классическим случаем, особенно оно все еще содержит ключевую информацию о распределении нулей L-функции.
— В моем доказательстве, когда речь идет о L-функциях эллиптических кривых CM, на самом деле обсуждаются эти обобщенные L-функции. Ключевое состоит в том, что эти обобщенные L-функции все еще можно разложить на произведение двух частей, которые соответствуют соответственно некоторому аналогу функции Зета и L-функции Дирихле.
— А когда я ввожу более общие модульные кривые и обсуждаю их Hecke-характеристики, то это делается в более общем контексте, при котором мое рассуждение все еще остается верным.
— Вот мой ответ, надеюсь, вы поняли. Многие из присутствующих опешили, даже среди самых именитых математиков было немало тех, у кого на лицах появилось выражение недоумения. Ведь ответ Сяо И был слишком уж абстрактным, некоторые даже подумали, что он просто невнятно болтает. Тем не менее, те выдающиеся математики, которые доверяли Сяо И, всё же начали размышлять о смысле его слов. В доказательстве уже была описана эта часть?
Они начали перечитывать статью и то, что только что рассказывал Сяо И. Сяо И также оставил им время для понимания. Только через мгновение Шольце внезапно озарился и сказал:
— Я понял.
Затем он с сожалением произнес:
— Действительно, ключевые доказательства происходят в обычном процессе, а этот обычный процесс интегрирован в общую структуру работы. “В этот раз я признаю вас истинным математическим богом”.
— Спасибо за ответ. После этого он сел. А большинство присутствующих, услышав такое заявление Шольца, вновь погрузились в недоумение.
Не, чувак, ты опять всё понял? Что ты вообще понял? Но, наверное, из-за слов Шольца те же математики, которые тоже думали об этом, получили вдохновение и все начали с удивлением кивать головами. Однако, если сложить всех вместе, то их не больше пяти человек.
Сяо И, стоящий на сцене, увидев выражения лиц внизу, улыбнулся и сказал:
- Мне нужно пояснить, что это действительно немного трудно понять. Для этого необходимо более всестороннее понимание моей работы, особенно тех моментов, которые я только что упомянул. Только так вопрос сможет быть разъяснен После этого он больше не говорил. Если бы никто не понял, то он, возможно, дал бы более подробные объяснения, но сейчас, поскольку кто-то понял, ему не нужно было говорить больше.
— “Есть еще вопросы?” — продолжал он.
Собравшиеся могли только прийти в себя после предыдущего вопроса и ждать, не появится ли кто-нибудь с еще одним вопросом. Пройдя примерно полчаса, наконец кто-то снова поднял руку.
Все присутствующие в тот же миг опешили: неужели еще есть кто с вопросом? Они все дружно повернулись к тому, кто поднял руку. Как и следовало ожидать, это был еще один известный математик. Эндрю Уайлс. Доказатель Великой теоремы Ферма. Точно так же он был математиком, глубоко изучавшим геометрию и алгебру.
Доказанная им гипотеза Такахаси-Шидзуки сама по себе является важным теоремой в области эллиптических кривых. Брови Сяо И слегка приподнялись. Он хорошо знал репутацию этого пожилого математика, но раньше у них не было много возможностей встретиться и пообщаться.
Так что же этот пожилой математик мог бы предложить?
Взяв микрофон у сотрудника, Уайлс постучал по нему, услышав эхо, после чего улыбнулся и сказал:
- Петр прав, мы не позволим вам так легко доказать гипотезу Римана.
“Честно говоря, я и вопросы Петра, и ваш ответ не понял.
Сначала подумал, что ваше объяснение провалилось.” “Но потом оказалось, что Петр сказал, что понял, и еще куча людей утверждают, что тоже поняли”.
Честно говоря, я не понял вопроса Петера, который ты задал, и твой ответ тоже. Сначала мне показалось, что твое объяснение было неудачным.
Но потом я не ожидал, что Петр сказал, что понял, и еще много людей тоже сказали, что поняли.
Поэтому я хотел бы задать тебе вопрос позже, когда ты уже действительно разобрался с проблемой Петра.
Уайлс смущенно улыбнулся:
— Я хотел задать тебе этот вопрос в качестве сюрприза.
В зале послышался смех.
Ты это называешь сюрпризом, или скорее испугом?
Но потом Уайлс сказал:
— Однако теперь мне придётся сообщить тебе свой вопрос раньше, чем планировалось.
— Мой вопрос также касается части об эллиптических кривых и CM-эллиптических кривых.
— В твоем доказательстве ты использовал свойства обобщенных модульных кривых, особенно аутоморфизм свойств их характеристик Hecke, чтобы сделать вывод о распределении нулей L-функций всех эллиптических кривых. Но здесь возникает тонкая логическая проблема: не подразумеваешь ли ты, что все эллиптические кривые можно вложить в обобщенную модульную кривую?
Услышав этот вопрос, все присутствующие замерли.
Этот вопрос...
был более скрытным, чем предыдущий, и в то же время более сложным.
и одновременно более запутанным, более опасным.
Многие стали крутить эту проблему в голове, пытаясь найти ответ.
Но ничто не помогало им найти точку отсчёта для решения этой проблемы.
В то же время все остальные зрители пытались разгадать решение проблемы, ведущие математики без исключения обратили свои взгляды на Уайлса.
Потому что эта проблема казалась им невероятно знакомой.
Ведь такой же ошибкой когда-то страдал и Эндрю Уайлс в своем первом доказательстве.
и теперь он обнаружил ту же самую проблему в работе Сяо И.
Не является ли это началом нового цикла?