Глава 291 Доклад о гипотезе Римана 3
…В общем, те геометрические траектории, которые я наблюдал в парке развлечений, дали мне определённое вдохновение.
Геометрия естественным образом присутствует в нашем мире, а математика, называемая языком вселенной, может дать нам вдохновение.
Сяо И слегка улыбнулся:
— Это и будет моим маленьким советом для вас.
Многие математики, присутствовавшие там, тут же кивнули в знак согласия.
Хотя такой метод им показался всё ещё довольно необычным, они не отказались от возможности учиться у Сяо И.
Теперь любой метод, который Сяо И рекомендовал, они были готовы попробовать, думая, что он может оказаться подходящим именно для них.
— Как я уже говорил, я пришёл к мысли о развитии моды кривой из высоких измерений. Давайте продолжим обсуждение того, как мне удалось в конечном итоге вывести общую форму модульной кривой.
— Вначале я пытался работать с модульными кривыми. Но довольно быстро стало ясно, что, хотя они и предоставляют геометрическую основу для изучения расширенных L-функций, полностью объяснить все их свойства они не могут. Особенно это касается некоторых типов расширенных L-функций: их особенные значения кажутся не совсем согласованными с геометрией модульных кривых.
— Впрочем, здесь меня подтолкнуло к новым идеям исследования в области теоретической физики.
— Мы все знаем, что в физике для изучения некоторых явлений используют многомерные геометрические пространства, например, такие как калаби-яу многообразия. Это стало для меня определённым источником вдохновения.
— Поэтому для модульных кривых в высоких измерениях они должны включать обычные модульные кривые как частный случай, но также и содержать больше информации, чтобы описывать те расширенные L-функции, которые выходят за рамки обычных.
— Теперь мы можем просто определить.
— Для *n*-мерной обобщенной модульной кривой, которую мы будем обозначать как Xf(n), где Xf(n) — это *n*-мерное комплексное многообразие, параметризующее класс особых *n*-мерных абелевых пучков, обладающих некоторыми свойствами модульности, подобными обычным эллиптическим кривым.
— Тогда нам понадобятся некоторые специальные инструменты для её обработки.
— И мне сразу вспомнились Шимура-кусты и Сигел-модульные формы.
— Для *n*-мерной Сигел-модульной формы *f* мы определяем Шимура-куст *Shf*, который параметризует все *n*-мерные Абель-кусты с модульными свойствами, описанными в *f*.
— Через этот путь мы сможем доказать существование естественного изоморфизма.
Шеф
…
Сяо И начал демонстрировать на доске, как он доказывает этот естественный гомоморфизм.
Только вот для большинства математиков в зале его объяснение осталось непонятным.
Как же Сяо И мог такое придумать?
Как ему пришло в голову использовать Shimuray-кусты и Сигел модульные формы?
Как ему удалось так точно представить соответствующие конструкции и определения?
Может ли это сделать человек?
Они все оказались в состоянии растерянности.
Что касается математики, то найти инструменты, которые можно использовать для решения задач, — это лишь первый шаг, а умение ими пользоваться — второй.
Иногда, даже найдя инструменты, они не гарантируют себе успешное решение проблемы. Главное в том, что им не удаётся найти способ правильно встроить инструмент в решающий момент. Поэтому проблема остаётся проблемой, а инструмент просто лежит там.
В математике подобные ситуации встречаются довольно часто.
Как, например, с Эндрю Уайлзом, который первым доказал теорему Ферма. Другие математики обнаружили ошибку в его доказательстве, и он едва не признался в поражении.
Но в конце концов он нашел выход из сложившейся ситуации, используя имеющиеся математические инструменты, и успешно завершил свое доказательство.
К примеру, Перельман, который доказал гипотезу Пуанкаре. В своем доказательстве он в основном использовал математический инструмент под названием «Ricci-поток», который с момента своего появления был замечен математиками как потенциально мощный инструмент для доказательства гипотезы Пуанкаре. Однако долгое время математикам не удавалось успешно завершить доказательство.
Только позже Перельман нашёл способ встроить «Ricci-поток» в доказательство гипотезы Пуанкаре и наконец завершил его.
Поэтому найти инструмент — лишь первый шаг, а как его применять — ещё более важный.
Сейчас Сяо И продемонстрировал способность, словно открыв третий глаз. Он не только смог обнаружить новый инструмент — широкополосные модульные кривые, но и сразу же нашел вспомогательные инструменты для встраивания этих кривых в «ключ-слот» — Shimura-кусты и Siegel-модульные формы.
Это правда не открыто?
— Damn it... Damn it... Damn...
Внизу множество математиков с изумлением наблюдало, как Сяо И демонстрировал свои шаги. В их сердцах было только удивление.
Ну да, кто же говорил, что он не бог?
Делинь покачал головой с сожалением и сказал.
Я никогда не думал, что от предположений Вейля можно получить такие расширения.
Рядом стоявший Бомбьери пожал руками: — Ты просто доказал гипотезу Вейля, а что ты сам знаешь о самой гипотезе Вейля?
Делинь пожал плечами и сказал: — Да, я полностью согласен с вами.
С другой стороны, Теренс Тао также выразил своё удивление.
Он действительно не ошибся ни разу, и сразу же пришел к такому результату? Я просто не могу поверить.
Фефферман покачал головой и сказал: — Даже если он действительно совершал ошибки на этом пути, но... ты считаешь, что он слишком долго застревал в них? Мне кажется, может быть, даже месяца не прошло.
Да уж... — вздохнул Теренс Тао.
Если бы это делали они, кто знает, сколько времени им пришлось бы затратить?
Если бы они не видели эту статью, а только знали определение обобщённых модульных кривых и то, что для этого нужны методы Шимуры и Сигел-модульные формы, им повезёт — за месяц всё получится. Но если нет, то может пройти несколько месяцев, а то и год.
Хотя они и не думали, что за год им все равно не удастся найти окончательный ответ, эта вероятность была не нулевой. Наоборот, она была даже довольно высокой.
Раньше они могли бы объяснить это большей частью удачей и добавить немного математического чутья.
Но сейчас, слушая рассказ Сяо И, у них возникли сомнения.
На самом деле?
Неужели этот процесс проб и ошибок можно было бы разгадать, полагаясь лишь на математические способности?
Но такой вопрос они, очевидно, бы не получили ответа, ведь они не Сяо И и поэтому не могли бы понять, как бы поступил Сяо И в подобных ситуациях.
Что думают в этот момент математики, сидящие в зале, Сяо И не знает.
Если бы они спросили Сяо И, он, вероятно, удивился бы такому вопросу.
Ведь он действительно полагался только на математическую интуицию и поэтому не понимал, почему бы им могли задать такой вопрос.
Такую ситуацию обычно называют «проклятием знаний».
Просто говоря, это когда кто-то считает определённые знания само собой разумеющимися и думает, что те, кто не обладает этими знаниями, очень глупы.
Часто это происходит, например, когда взрослый помогает ребёнку с домашним заданием. Взрослый может быть удивлен, если ребёнок долго не может решить проблему, которая для него кажется очевидной, и даже может подумать, что ребёнок глуп.
А сейчас эти выдающиеся математики, как дети, а Сяо И — взрослый. Последний может своей математической интуицией сразу исключить множество вариантов и сэкономить время на ошибках, в то время как первые с трудом понимают, что за математическая интуиция позволяет Сяо И так точно находить ответы.
Конечно, нынешний Сяо И не знает, в чём их затруднение, и продолжает излагать своё доказательство.
— ….и таким образом мы получаем такую теорему —
— Предположим, что E — это n-мерный Абель-группа, а f — это n-мерная форма Сигеля. Если модульное свойство E описывается f, то расширенная L-функция E L(s, E,) равна Z-функции ζ(X_f^(n), s) широкой кривой моды X_f^(n).
— Это утверждение значительно расширяет предыдущие результаты о эллиптических кривых и кривых моды; оно показывает, что широкие кривые моды предоставляют естественный геометрический каркас для унифицированного рассмотрения различных размерностей Абель-групп и их расширенных L-функций.
— Таким образом, мы можем полностью исследовать все типы расширенных L-функций.
— Связывая каждый расширенный L-функцию с одной из обобщенных кривых моды, мы можем использовать геометрические свойства обобщенных кривых моды, такие как размерность, числа Бети, структура Ходжа и т. д., чтобы характеризовать свойства расширенных L-функций…
— Конечно, теперь мы можем приблизиться к финальному этапу гипотезы Артана. Дойдя до этого места, Сяо И сделал паузу, посмотрел на часы, а затем с улыбкой сказал:
- Хорошо, сейчас уже двенадцать часов дня, так что по предварительному плану настало время обеда. В соседнем отеле для всех гостей уже приготовлены обильные блюда, приглашаю вас к себе за стол.Все собравшиеся, с нетерпением ожидая, чтобы Сяо И рассказал о том, как доказать гипотезу Артана, вдруг завопили отчаянием. Несмотря на то что гипотеза Римана была доказана, гипотеза Артана всё ещё имела значение. Это было относительное утверждение, но люди были поражены тем фактом, что Сяо И смог доказать гипотезу Артана одновременно с доказательством гипотезы Римана. Поэтому сейчас ситуация была как будто застыла в ожидании.
Единственным, кто был благодарен Сяо И за то, что он так вовремя "покинул работу", были, пожалуй, те зрители, которые пытались выдержать предел своей мочевой пузыря, но не хотели уходить.
Глядя на то, как Сяо И без оглядки вошел за кулисы, толпа зрителей могла только смириться и отказаться от попыток его остановить. — Ну что ж, похоже, придется ждать ещё два часа. — сказал Син-Тунг Яу с безвыходностью в голосе. — Фефферман же с улыбкой поднялся:
— Ничего страшного, как раз время чаепития в Китае, я уже давно его ждал, все ещё помню вкус еды, которую здесь ел. — Он похлопал Син-Тунг Яу по плечу:
— Син-Тунг, опять тебе придется помочь мне с дегустацией блюд. — Син-Тунг Яу улыбнулся: — «Конечно, без проблем». ……
После этого зрители, находившиеся в зале, по приглашению работников покинули помещение и отправились в соседнюю гостиницу, где у них был обед. Конечно же, они ни на минуту не забывали, что через два часа им предстоит вернуться и послушать, как Сяо И продолжит изложение следующего этапа доказательства.
В то время как они обедали, они не сидели без дела: обсуждали и делились своими впечатлениями от того, что рассказал Сяо И, каждый из них находил в этом новые идеи и открытия. Даже Фефферман, который собирался насладиться китайской кухней, отказался от еды и присоединился к их дискуссии.
В любом случае, после того как лекция закончится, они смогут вернуться сюда и есть сколько угодно. В процессе общения они все больше и больше восхищались остротой доказательств Сяо И, его блестящим подходом к их изложению, и с нетерпением ждали второй части доклада. Вскоре, задолго до четырнадцати часов, все зрители вернулись в зал.
Даже в очереди, ведущей к залу, каждый строго соблюдал порядок, не допуская никаких эксцессов, ведь никто не хотел, чтобы начало доклада в четырнадцать часов было перенесено из-за таких мелочей.
Именно к четырнадцати часам, как и было запланировано, начался второй половина доклада о гипотезе Римана. Сяо И вошел в зал ещё раз, поднялся на сцену и посмотрев на толпу зрителей, слегка улыбнулся и сказал:
— Итак, продолжим наш доклад.
— Теперь мы официально начинаем доказательство гипотезы Артана. Следующим шагом будет последовательность сложных доказательств. Ключевые инструменты уже в наших руках, теперь нужно применить их на практике в процессе доказательства.
В этом промежутке будет содержаться примерно сорок страниц текста научной работы. Конечно, Сяо И опустил все эти этапы, примерно как математики используют такие выражения, как "само собой разумеется", "замечаем", "легко видеть" и т.д.
Впрочем, присутствующие математики вполне могли это понять, ведь Сяо И уж точно не мог бы здесь переписывать им весь процесс доказательства – это же целая четырехсотстраничная работа!
Поэтому то, что можно было опустить, было сразу опущено, оставили только ключевые шаги. Так и дошло до конца доказательства гипотезы Артана.
— Вот здесь мы можем сделать окончательный вывод. “Пусть f - n-мерная форма Сигеля, а X_f^(n) - соответствующая ей обобщенная модульная кривая, тогда существует естественное галоисовое представление —”"
{ρf : Gal(Q/Q) → GLn(Z)}
Представление Галуа таково, что для любого простого числа *p* Frobenius-элемент Frob*p* в ρ*f* имеет характеристический многочлен, равный ζ(X*f**n*, T) в точке *p*.
Таким образом, мы успешно установили связь между геометрическими свойствами обобщённых модульных кривых и арифметическими свойствами представлений Галуа.
Благодаря этому результату мы можем успешно переформулировать гипотезу Артана в вопрос о представлении Галуа.
В частности, мы получили такой же результат.
Предположим, что E — это эллиптическая кривая, а L(s, E) — её функция Hasse-Weil. Тогда следующие два условия эквивалентны: 1) L(s, E) — голоморфная функция на всей комплексной плоскости и удовлетворяет уравнению функциональной зависимости; 2) существует модульная форма f такая, что галоисовое представление ρ_E кривой E гомоморфно представлению ρ_f.
…В конечном итоге, мы можем приступить к попытках встраивания каждой эллиптической кривой в обобщенную модульную кривую.
… Теперь мы знаем, что ρ_X исходит из сиглевого модульного отображения *f*, то есть ρ_X = ρ_f. Объединяя эти два результата, получим...
Рок и Флэш.
Это указывает на то, что ρE также исходит из модульной формы, то есть «обратного отображения» f.
Это означает, что L(s, E) является целым числом и удовлетворяет уравнению функционала. Таким образом, мы успешно доказали гипотезу Артана.
Сяо И повернулся и, обращаясь к зрителям, улыбнулся.
Все собравшиеся тут же ахнули от удивления.
Атин предположил.
Этот вопрос, который казался им таким же сложным, как и раньше, был решен так просто, что даже стал своеобразным «представлением» к доказательству гипотезы Римана.
В этот момент они уже не знали, сколько раз им доводилось быть пораженными этими доказательствами Сяо И.
Прекрасно, идеально, почти без изъяна…
А ещё эта обобщенная кривая модуля…
Шольце шептал себе под нос.
Он как раз занимался арифметикой и геометрией.
В то время ими созданная структура, напоминающая полное пространство, также считалась важным прорывом в арифметической геометрии и могла применяться для исследования различных проблем, особенно в области алгебраической геометрии и программе Ландау.
Сейчас Сяо И создал обобщенную модульную кривую, которая еще более мощно расширила арифметическую геометрию с другой стороны.
Это настоящий сильный синтез методов алгебраической геометрии и теории чисел, который для всего математического мира можно назвать настоящим великим прорывом.
Не говоря уже о будущем, эта обобщенная модульная кривая может принести огромную помощь в решении других математических проблем.
Уже сейчас сам процесс размышления Сяо И над этой обобщенной модульной кривой, его логика, анализ и т.д., возможно, смогут дать некоторым математикам вдохновение, заставить их задуматься о том, могут ли другие существующие теории быть расширены подобным образом, как это сделано с модульными кривыми.
Вот и заключается ещё одна важная сторона обобщённой модульной кривой, именно поэтому её так ждут.
Теперь, посмотрев на то, как Сяо И вывел обобщенную модульную кривую и применил её для решения задач, они немного поняли.
— Теперь я уже знаю, о чём будет моя следующая статья.
— Я тоже уже решил, надеюсь, что наша тема не совпадёт.
— Я думал о теории модальности пространства, а ты что думаешь?
— Черт! … Ха-ха, шучу. Я не такой, как ты. Я думал о Shimuray-кластерах, которые Сяо И упомянул раньше. Думаю, может быть, с Shimuray-кластерами можно ещё продвинуться дальше.
— Очень неплохо, я тоже об этом думал, но в итоге всё же решил остановиться на теории модульного пространства. Думаю, здесь есть что-то более интересное для изучения.
— Тогда удачи тебе!
— И тебе удачи.
— ...
Ниже математиков выглядели несколько возбужденными.
А на сцене Сяо И уже начал последнюю часть своего выступления.
Он прямо указывает на окончательное доказательство гипотезы Римана.