Глава 283 Теорема Римана и гипотеза Шё
Теорема 7.3: Пусть *f* — это *n*-мерная модульная форма Сигеля, а *Xf(n)* — соответствующая обобщённая модная кривая. Тогда существует естественное галоисовое представление: ρ*f* : Gal(ℚ/ℚ) → GL*n*(ℤ_), такое что для любого простого числа *p*, Frobenius-элемент Frob*p* в ρ*f* имеет характеристический многочлен, равный Zета-функции ζ(*Xf(n)*, *T*) в точке *p*.
В кабинете Сяо И он чертил на бумаге последние штрихи доказательства гипотезы Артина.
- Ммм, эта теорема успешно устанавливает связь между геометрическими свойствами обобщенных модульных кривых и арифметическими свойствами галуасовых представлений.
- Благодаря этому результату я наконец смогу переформулировать гипотезу Артина как проблему о галоисовых представлениях.
- Тогда гипотеза Артина в рамках галоисовых представлений это…4 Теорема: Пусть E — эллиптическая кривая, L(s, E) — ее функция Hasse-Weil. Тогда два условия эквивалентны: (1) L(s, E) является голоморфной функцией на всей комплексной плоскости и удовлетворяет функциональному уравнению; (2) существует модульная форма f такая, что галоисовое представление ρ_E кривой E и ρ_f формы f конгруэнтны.
Угол губ Сяо И слегка приподнялся, словно всё было под его контролем.
На этом этапе он успешно переформулировал гипотезу Арта в другую форму постановки проблемы.
Большинство доказательств гипотез, как правило, сводится к этому.
В конечном итоге математики доказывают формулировку, которая часто сильно отличается от первоначального заявления гипотезы. Но путем тщательного анализа связей между различными математическими понятиями они устанавливают знак равенства между этой окончательной формой и самой гипотезой, тем самым демонстрируя их эквивалентность.
Что касается самого изначального описания проблемы, то оно чаще всего служит для ее более легкого понимания.
Например, как и в случае с другими проблемами, например, гипотезой о ледяных шарах, ее описание кажется очень простым, но конечный доказанный вид оказывается совсем не таким — это довольно сложное математическое выражение.
Включая, например, доказательство теоремы Ферма Андреем Уайлсом, конечный вид оказался совершенно другим.
Поэтому, поскольку Сяо И переформулировал гипотезу Артана, ему нужно доказать, что галоисовые представления каждого эллиптического уравнения исходят из модульной формы.
— Итак, теорема 7.5 гласит: для любой эллиптической кривой E существует обобщенная модульная кривая X и замкнутое вложение i: E → X, которое индуцирует изоморфизм между галоисовыми представлениями: ρ_E ≈ ρ_X i_*.
— Эта теорема 7.5 – последний вопрос, который ему нужно доказать.
— То же самое произошло и здесь: ему не составило никакого труда, он немного подумал и полностью завершил свой результат.
— Итак, согласно теореме 7.3, мы знаем, что ρ_X вытекает из модульной формы Сигеля f, то есть ρ_X = ρ_f.
— Объединив эти два результата, получаем: ρ_E * ρ_X = i_* ρ_f * i_* .
— Это означает, что ρ_E также исходит из модульной формы, то есть из обратного отображения f.
— Согласно теореме 7.4, это означает, что L(s, E) — целое число, удовлетворяющее функциональному уравнению.
Таким образом, гипотеза Артана была верна.
Доказательство завершено.
Написав на листе бумаги эти последние два слова, Сяо И тоже слегка улыбнулся.
Пройдя через такое длительное время, наконец, гипотеза Артина была им успешно разгадана.
Таким образом, он также считался шагом ближе к гипотезе Римана.
Однако, прежде чем это сделать, ему нужно было выяснить, как на основе его текущих результатов гипотеза Артина связывает каждое конечномерное комплексное представление ρ и его L-функции с автоморфным представлением π.
Только получив это уравнение, он сможет приступить к попытке доказать гипотезу Римана.
Вскоре ему удалось успешно вывести новый автоморфный образ π.
— Таким образом, мы получили уравнение для функции.
L(ρX, s) = ε(ρX, s) * L(ρX∨, k - s)
Сяо И начал наблюдать за этим уравнением.
Это и есть самый важный результат гипотезы Артина.
Именно это функциональное уравнение делает то, что предсказывает гипотеза Артина: каждое конечномерное комплексное представление ρ: Gal(K/k) → GL(n, C) должно соответствовать автоморфному представлению π таким образом, чтобы их L-функции были равны: L(s, ρ) = L(s, π).
Благодаря этому результату можно даже полностью проверить гипотезу о функциональности.
Конечно, сейчас основное внимание Сяо И уделяет не гипотезе о функциональности.
Теперь он хочет понять, как связать это уравнение с гипотезой Римана.
Вскоре он слегка улыбнулся, и его рука снова зашевелилась над ручкой.
Раз уж он добрался до этого этапа, гипотеза Артина уже была ему доказана, так что остальная часть задачи не могла его больше затруднить.
Несмотря на то что впереди оставалось множество сложных выводов и эта работа могла занять много времени, он мог с уверенностью сказать, что для него это уже не представляет никакой сложности.
…
Время снова пролетело.
Прошел примерно месяц.
За этот месяц мир оставался неизменным.
Конечно, для Китая самое важное — то, что построены и введены в эксплуатацию несколько новых ядерных реакторов.
Со временем наступит период запуска ядерных реакторов.
В тех ключевых экономических зонах уже используется электроэнергия, вырабатываемая ядерным синтезом. Это привело к бурному росту рынка акций (A-stock), который практически не останавливается с начала года.
Вначале инвесторы были не вполне уверены, ведь помнили предыдущий бычий рынок, случившийся в 2024 году. Он был очень кратковременным и после нескольких дней активного роста обернулся жестоким падением для многих спекулянтов.
Но когда этот бычий рынок продлился уже неделю, инвесторы стали сомневаться. А после двух недель роста им пришлось осторожно вкладывать свои средства.
И только когда рост продолжался целый месяц, инвесторы вновь погрузились в безумие.
А по сей день рынок всё ещё растет, едва останавливаясь.
Индекс уже достиг беспрецедентной отметки в 9500 пунктов, давно перейдя за половину максимума 2007 года (6124 пункта) и приближаясь к рубежу в 10 000.
Это прежде всего связано с тем, что ядерная энергетика позволила многим компаниям значительно снизить операционные расходы. Особенно это касается промышленных предприятий, ведь в Хуагуе находится наибольшее количество таких компаний. Хуагуй всегда уделял большое внимание развитию реального сектора экономики и никогда не так активно развивал финансовую экономику, как западные страны, игнорируя при этом развитие реальной экономики, особенно промышленность.
Промышленность Хуагуя стала главным бенефициаром после достижения ядерного синтеза.
Что касается математиков программы "Первопроходцы в области простых чисел", то они до сих пор ломали голову над тем, в каком направлении им следует двигаться. В самом начале у них даже возникли разногласия по этому поводу, которые привели к тому, что они решили разделиться на несколько групп и заниматься исследованиями в разных направлениях. Затем они периодически делились результатами, а после этого, исходя из полученных данных, определяли, какое направление наиболее перспективно.
В таком подходе им удалось добиться определённых успехов.
Например, математики, которые хотели продолжить развитие теоремы о критических точках, основываясь на её исследованиях, теперь также смогли получить число, превышающее 62,5%, предложенное Сяо И — 66,67%, то есть примерно две трети.
Однако по той же логике две трети, хотя и кажутся очень близкими к окончательному ответу, на самом деле всё ещё находятся в огромном отдалении.
Даже их нынешние достижения можно считать лишь продолжением работ Сяо И, и нельзя сказать, что они очень заслуживают похвалы.
Что касается математиков других направлений, то они тоже добились определённых успехов, но эти достижения нельзя назвать значительными. Если бы им нужно было писать статьи для публикации, вероятно, не хватило бы материала даже для второй зоны — разве что благодаря известности и авторитету редакторы, глядя на них с уважением, всё же согласятся опубликовать их работы в первой зоне.
Однако эти знаменитые математики не хотели терять лицо, поэтому в итоге создали собственный сайт под названием «План первопроходцев по простым числам» и разместили на нем все свои достижения, чтобы люди могли увидеть, насколько далеко они продвинулись.
Конечно, именно поэтому СМИ постоянно говорят о том, что Сяо И не публикует свои научные достижения так же активно, как они, и используют это для насмешек над ним, утверждая, что у него нет никаких результатов или он боится неудачи и поэтому скрывает свои работы. Они постоянно пересказывают чужие слова и сплетни.
Хотя эти насмешки они постоянно распространяли, Сяо И в основном не замечал их, а если и замечал, то не обращался на них внимания.
Так вот, наступило полночь 15 июля.
Для произвольной CM-эллиптической кривой E существует обобщенная модульная кривая X и вложение i: E → X, такое что i индуцирует изоморфизм между характеристиками Геке: λ_E ≅ λ_X (i_*). где λ_X — характеристика Геке X, а i_* — гомоморфизм групп Галуа, индуцированный i.
Следовательно, подставив теорему 8.9 и теорему 9.1, мы можем определить, что все нули L(s, E) лежат на прямой Re(s) = 1/2.
Следовательно, все нетривиальные нули ζ(s) также лежат на прямой Re(s) = 1/2.
Таким образом, гипотеза Римана доказана.
Конечное доказательство завершилось.
В руках Сяо И ручка в этот момент остановилась на последней запятой, долго не убираясь, словно застывшее течение времени.
Гипотеза Римана.
Теорема Римана!
Любое известное математическое предположение имеет свою историю.
Но ни одно предположение не обладает таким же исключительным положением, как гипотеза Римана.
В этот момент история и настоящее соединились. Бесконечное число математиков, отдавших свои жизни борьбе за него, вложивших в него всё своё сердце и душу, наконец-то увидели решение этой проблемы на его страницах.
В голове мелькнули бесчисленные образы.
Бохенхард Риман в своем кабинете написал письмо под названием «О числе простых чисел, меньших заданного числа», чтобы выразить благодарность за высокую честь избрания действительным членом Берлинской академии наук. В то время он, вероятно, и не подозревал, что его работа всего лишь на восемь страниц станет началом гипотезы Римана, которая стала мучительной мечтой для почти всех математиков.
Он словно видит, как от поколения к поколению математики увлечённо думают, спорят и исследуют эту задачу.
Неважно, будь то Евклид из древности или такие великие математики, как Эйле, Гаусс, Харди...
По сей день математики, такие как Сельберг, Бомбьери, Фартингс, Делинь и многие другие, продолжают...
Эти имена стали маяками на пути к решению проблемы и остаются таковыми по сей день.
Молодой человек по имени Сяо И наконец осветил последнюю лампу на пути к истине.
Ручка в его руках наконец перестала стоять вертикально и была аккуратно отложена в сторону.
Встав, он потянулся и подошёл к окну, откинув занавеску.
Утреннее солнце проникло в помещение.
Вчера вечером он практически не спал ни минуты.
Но все же, эта ночь не прошла даром.
— Однако уровень “буффа не повысился.”
С этим Сяо И ничего не мог поделать, кроме как пожал плечами. В такой ситуации уровень "буффа" уже было не так просто повысить.
Что касается возможности неправильности его доказательства, то это совершенно исключено. Он был уверен в своей работе.
Значит, ему нужно решить ещё одну проблему примерно того же уровня, чтобы повысить уровень «буффа»?
Эта проблема быстро мелькнула в его голове, и теперь он больше не хотел о ней думать.
Потянувшись, он зевнул и вернулся на своё место, чтобы ещё раз пересмотреть все доказательства.
Это было для него обычным просмотром, но на этот раз он заметил в этих доказательствах неожиданную идею.
— Самосодержащее представление… L-функция… и некоторая геометрически ‘естественная’ вещь?
— Неужели… для каждого самосодержащего представления ρ можно построить числовую L-функцию L(s, ρ) и геометрический ‘естественный’ объект X(ρ)?
Он снова взял в руки ручку и написал на доске уравнение, бормоча:
— Чтобы всё это удовлетворяло этому соотношению.
[L(s, ρ) = L(s, X(ρ))]
L-функция ρ равна некоторой "естественной" L-функции X(ρ).
Положив ручку, он обнял себя за голову.
Если это так, то беда.
Это значит, что он на базе программы Ланланз реализовал ещё более масштабное продвижение.
Ланланзская программа предсказывает, что каждый самосодержащий объект должен соответствовать геометрическому объекту и L-функции из теории чисел.
Это соотношение предсказывает прямое равенство между этим геометрическим объектом и L-функцией.
Такое отношение для математики имеет колоссальное значение.
Это предоставляет новый единый взгляд, связывающий три основных раздела математики: алгебру, геометрию и анализ, позволяя математикам переводить проблемы из алгебры в геометрию или анализ.
Но сможет ли это уравнение действительно сработать?
Сяо И ничего не знал.
Потому что это был совершенно новый вопрос.
Требовал длительный процесс доказательств.
Но нынешний Сяо И уже не хотел слишком много думать.
На следующей неделе он просто хотел отдохнуть.
Риман предположил, что доказательство заняло столько времени, что можно было хотя бы насладиться им.
Конечно, можно.
— Что касается этого нового вопроса…
— ...назовем ее гипотезой Шэо.
— Эй, он доказал гипотезы Арта и Римана, теперь подарит математике ещё одну более крутую гипотезу.