Глава 282 Обобщённые модульные кривые
Спустившись с горки, Ло Миня хлопнула себя по груди и выдохнула.
- Вау, давно уже не каталась на американских горках, как здорово!
Тогда она повернулась к Сяо И и спросила:
— Ты как так спокойно был? Даже не закричал?
Только вот в этот момент на лице Сяо И появилось задумчивое выражение.
Хотя он собирался ещё немного поиграть, внезапно возникшая интуиция наполнила его голову новыми идеями.
Кривая Мо, возможно, действительно не может стать тем геометрическим объектом, который ему нужно. Он пришёл к этому выводу во время своих предыдущих исследований кривой Мо.
Но если посмотреть на ситуацию сейчас, то кривые Мо, хотя и не удовлетворяют его требованиям, определённо очень близки к тому, чего он хочет.
Это не просто математическое рассуждение, это прежде всего то, что подсказывает ему его интуиция.
Он всегда доверял своей интуиции.
Но сейчас ему нужно подумать, что за геометрический объект, похожий на кривую модуля, хранится в его памяти. В ней были несколько понятий, близких к кривой модуля, но все они уже прошли проверку. Он думал об этом последние месяцы и, естественно, испробовал всё, что мог припомнить. Что же касается того, чего он не смог придумать...
Он полагал, что больше ничего нового не может придумать.
Конечно же, раз уж дело дошло до таких рассуждений, то остается только рассмотреть последний вариант.
Значит ли это, что для продолжения нам нужна новая геометрическая концепция, подобная эллиптическим кривым?
Нужно разработать совершенно новую геометрическую концепцию.
Брови Сяо И слегка приподнялись, похоже, это не так уж и плохо.
Эм? Сейчас ты не думаешь об эллиптических кривых, которые только что упомянул?
В это время Ло Мянь, сидевшая рядом, увидев его задумчивость, невольно спросила.
Сяо И пришёл в себя и улыбнулся:
— Да, даже дали мне немного вдохновения.
— А?» — удивилась Ло Миня: «Даже прокатиться на американских горках может вдохновить?
— Да, наверное, — кивнул Сяо И:
— Математика — язык вселенной, поэтому всё, что подчиняется законам вселенной, может давать подсказки для решения математических задач.
— Трудно даже представить, какой мир видят ваши математики, — сказала она.
Ло Минь снова вздохнула с сожалением.
Как и когда-то она говорила Сяо И, ей завидно от того, как хорошо у него получается математика.
Затем она повернулась и посмотрела на множество аттракционов в парке развлечений, а потом указала на очень заметное колесо обозрения: “Тогда давай поедем на колесе обозрения? Может быть, это даст тебе больше вдохновения?”
Сяо И повернулся и посмотрел, а затем улыбнулся:
— Хорошо.
Они направились к колесу обозрения и довольно быстро встали в очередь. Перед ними случайно стояла семья Цянь Ваньли.
Но Сяо И с компанией не обратил внимания на Цянь Ваньли, который, в свою очередь, не заметил их. Он просто наслаждался редким моментом семейного общения.
Ло Минь наблюдала за ними, а Сяо И — на небоскребы.
Геометрическая форма колеса обозрения, по сравнению с траекторией американских горок, казалась более сложной, но и более упорядоченной.
В конце концов, внешне оно скорее всего представляло собой стандартный образец.
Сяо И нечаянно активировал свою способность «совершенное проектирование» и в воображении построил модель всего колеса обозрения.
Затем он смог детально увидеть всю информацию о колесе обозрения.
Далее он поместил все эти данные в координатную систему и поместил её в «парк развлечений на эллиптических кривых», о котором он только что придумал.
Мысли в его голове вновь ненароком достигли новой ступени.
— Главная проблема с эллиптическими кривыми в том, что, хотя они предоставляют много полезной информации, не могут полностью объяснить все свойства расширенных L-функций. Например, некоторые особые значения и связь этих особых значений с арифметическими свойствами эллиптических кривых остаются непонятными.
— Поэтому нужен объект, богаче эллиптических кривых…
— В голове закружилась буря идей.
— Но тут же всё стихло.
— Потому что теперь пришла их очередь.
Ло Мень и вошли в отсек, сели друг напротив друга, а затем рабочий закрыл люк.
По мере медленного вращения механических рук установки они постепенно поднимались.
Ло Миня посмотрела на Сяо И, сидящего напротив неё.
Сяо И наблюдал за структурой снаружи.
В это время в его голове всё ещё оставалась картинка идеального сооружения: круглая структура, а они сами — точки на этой траектории, постоянно вращающиеся по ней и образующие непрерывную линию.
Хотя с чисто математической точки зрения круг и эллипс нельзя считать однотипными, поскольку их определения различны: круг — множество точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки (центра) равно фиксированному значению (радиусу); а эллипс — множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) равна фиксированному значению.
Однако это относится к строгому определению. Если рассматривать параметры эллипса, то круг можно считать особым его видом, в котором два фокуса совпадают, а расстояние между ними равно нулю.
Таким образом, круг можно представить как особый случай для эллипса, где параметры стремятся к нулю.
А если учесть кривизну модулей?
Мысли Сяо И в этот момент были похожи на блуждание в бесконечном тумане. Но вот, когда их каюта поднялась на большую высоту и пробившийся сквозь облака солнечный луч попал через иллюминатор, осветив его щеки.
И тогда его мысли вырвались из густой завесы тумана.
У него возникла совершенно новая мысль.
— Если бы мне удалось построить аналог кривой модуля в высоких измерениях, то каким же он был бы?
Он поднял голову и посмотрел на солнце.
Глаза были необычайно ярко выражены.
— Это пространство должно содержать обычные модульные кривые, чтобы они служили как “срезом, но также должно содержать больше информации, чтобы описать те особые расширенные L-функции.”
— Поэтому...
Он сразу извлёк из кармана ручку и маленький блокнот и начал записывать что-то в них.
Ему уже пришло в голову совершенно новое понятие, подобное кривой модулю.
Кривая модуля, но в более высоких измерениях.
Он назвал это обобщенной кривой модуля.
Теперь обозначим его как X_f^(n), являющимся n-мерным комплексным многообразием, которое параметризует класс особых n-мерных абелевых разложений, обладающих некоторыми модульными свойствами, подобными обычным эллиптическим кривым.
— Mmm...
Тогда нам ещё нужно добавить что-то, чтобы сделать его более универсальным.
И его мысли снова перекинулись через преграды, вспоминая те математические знания, которыми он когда-то владел.
Шимауры модули, Сигел — модульные формы…
Колесо обозрения медленно поднималось вверх, а солнце уже заливало весь салон теплым светом.
Глядя, как Сяо И даже в такое время достает бумагу и перо, чтобы заниматься исследованиями, сердце Ло Миня не испытывало к нему недовольства, а лишь чувствовало легкое спокойствие. Как будто сейчас шум за пределами парка развлечений полностью отсечён.
И наконец, когда они поднялись на самую высоту колеса обозрения, их глаза увидели только этот небольшой уголок: окно с видом на далекий горизонт и человека перед ними. Ничего больше не было видно.
Молодые девушки любят такие отношения, как в романтических историях, полные взлетов и падений. Но ей сейчас нравятся именно эти чувства.
Хотя все кажется очень обычным, в этом скрывается особая атмосфера.
Она сама не знает, когда у нее появились такие чувства. Ведь раньше она так любила образ жизни своей кузины, считая себя такой же одиночкой по натуре.
Тем не менее произошли изменения.
Глядя на то, как глаза мужчины перед ней постепенно прояснялись из-за разрешения проблемы, она тоже улыбнулась, искренне радуясь за него.
Сегодняшний корпоративный праздник не прошел даром.
На самом деле инициатором корпоративного праздника была она. Вначале она заметила, что Сяо И из-за неразрешенной проблемы часто хмурился. Поэтому она предложила отдохнуть и расслабиться, может быть, это поможет ему найти решение.
Теперь можно считать, что её желание исполнилось?
Колесо обозрения постепенно опускалось вниз, самые верхние виды становились недоступны.
Ло Миня повернула голову и увидела каюту семьи Цянь Ваньли.
Цянь Ваньли с женой сидели вместе, а Цянь Хуэйинь с радостным видом смотрела в окно.
Нежный ветерок проникал через оконный козырек внутрь каюты, и волосы Ло Миня зашевелились.
Хотя она не преследовала тех бурных и драматичных романов, всё же в глубине души стремилась к романтике.
Романтика в этот момент была просто идеальна.
…
Наконец колесо обозрения завершило один оборот и постепенно опустилось на самое дно.
Когда он собирался уходить, Сяо И наконец опустил ручку и поднял голову.
Заметив, что Ло Мин смотрел на него, он слегка улыбнулся.
Проблема решена? — спросила Ло Минь.
Не совсем, — сказал Сяо И. — Теперь до последнего ответа осталось не так много.
Так значит, гипотеза Римана вот-вот будет доказана? — Ло Минь нахмурилась.
Нет, не совсем, — сказал Сяо И. — Теперь до последнего ответа осталось не так много.
Но то, что мы смогли сделать сейчас, — в глазах Сяо И загорелся огонь уверенности, — это уже многое значит.
В этот самый момент дверь распахнулась изнутри.
Сотрудники жестами указали им, что можно спускаться вниз.
Ло Мин и Сяо И спустились один за другим.
Сяо И в это время тоже положил бумагу и перо обратно в карман и с улыбкой сказал:
— Ладно, пойдём. Сегодня я больше не буду заниматься задачами, хорошо отдохнём.
— Хорошо, — легко улыбнувшись, кивнула Ло Миня, и они пошли бок о бок по другим местам развлекательного парка.
Один день иногда кажется пролетающим очень быстро, а иногда – очень медленно.
Когда прошлое мчится слишком быстро, люди желают, чтобы оно текло медленнее. Но когда оно тянется долго, им хочется, чтобы оно пролетело побыстрее.
Для всех в лаборатории на научном острове сегодня – первый день.
Но время всё равно не ждёт, и по мере того как парк развлечений закрывался, все посетители уходили, день подходил к концу. Все сообщили о возвращении в общежития или домой, что с ними всё в порядке.
Прошла ночь.
На следующий день солнце, как обычно, взошло.
Сяо И прошлым вечером также спал в комнате отдыха своего офиса, поэтому, проснувшись и умывшись, он сразу же приступил к работе.
Из кармана вчерашней одежды он достал блокнот и начал читать записанные в нём заметки; его губы слегка приподнялись.
— Ладно, сегодня можно начинать официально!
Связавшись с Ван Хао, я попросил его принести из столовой завтрак, после чего сел за рабочий стол, достал чистый лист бумаги и ручку, чтобы начать самый важный этап вывода.
Чтобы разобраться с обобщенными моделями кривых, нужно сначала вспомнить определение обычных моделей кривых. Для целого числа N модульная кривая X(N) определяется как пространство модулей (moduli space) верхнего полуплоского комплексного плана H, где действие группы Γ(N) порождает отношение эквивалентности.
Здесь Γ(N) — это подгруппа SL(2, Z) главного однородного действия, определенная как... Далее определяется обобщенная модульная кривая…
Пусть n — положительное целое число, а f — n-мерная форма Сигеля, то есть голоморфная функция f: H_n → C, где H_n — верхний полупространство n×n комплексных симметричных матриц τ = (τ_ij), удовлетворяющая условию: для всех γ ∈ Sp(2n, Z) выполняется f((Aτ + B)(Cτ + D)^(-1)) = det(Cτ + D)^k f(τ), где (A B; C D) — элемент Sp(2n, Z), а k — вес f.
В каждой точке H_n функция f удовлетворяет определенным условиям роста.
Таким образом, для такой f можно определить обобщенную модульную кривую X_f^(n) как модульное пространство над верхним полупространством Siegel H_n, модуль по отношению к эквивалентности, порожденной действием Γ^(n)(f). Здесь Γ^(n)(f) — это подгруппа модульной группы Siegel Sp(2n, Z), которая зависит от f и определяется как: Γ^(n)(f) = {γ ∈ Sp(2n, Z) | f(γ(τ)) = f(τ) для всех τ ∈ H_n}. Таким образом, X_f^(n) успешно параметризует все n-мерные абелевы совокупности с модульными свойствами, описанными f. Дойдя до этого места, Сяо И невольно улыбнулся.
На этом этапе он решил даже самую главную проблему.
Этот новый геометрический концепт, расширенный до «обобщенных модульных кривых», уже стал чем-то совершенно новым.
Он лучше всего демонстрирует важную идею современной математики: понимание сути вещей на более высоком уровне путем введения новых математических структур и выявления скрытых связей.
— Итак, теперь нам нужно вернуться к самому расширению L-функций.
Сяо И, просто взглянув на это, сразу же заметил, что для каждого n-мерного обобщенного модульного кривой X_f^(n) существует особый класс n-мерных абелевых пучков, чьи расширенные L-функции тесно связаны с Zета-функцией X_f^(n).
Конечно же, просто наблюдение недостаточно, нужен и доказательство.
Но раз мы уже здесь, то сложностей не должно быть особых. Проведя несколько чертежей, он в итоге вывел новую теорему: пусть E — это n-мерная абелева группа, а f — это n-мерная форма Сигеля;
если модульное свойство E описывается f, то расширенная L-функция E L(s, E,) равна Z-функции ζ(X_f^(n), s) обобщенной модульной кривой X_f^(n).
— Таким образом, самая сложная часть уже пройдена. «Тогда, осталось только двигаться к финальному доказательству!»
— Гипотеза Артина уже не сможет его остановить.
— Связывая каждый расширенный L-функцию с обобщенной модульной кривой, он может использовать геометрические свойства обобщенных модульных кривых, такие как размерность, числа Бети, структура Ходжа и т.д., чтобы описать характеристики расширенных L-функций. «В конце концов, ответ наконец предстал перед его глазами».
— Через полмесяца.
«…»