Глава 273 Разбор другого способа реализации продолжения
Время неумолимо течёт.
В одно мгновение настал конец октября.
Погода постепенно похолодала, каждая осенняя гроза приносила холод, и с каждым дождём мир становился всё более прохладным.
Накинув на себя куртку, Сяо И прогуливался по берегу Хушань-ху. Это стало его любимым занятием в последнее время.
Но на этот раз он был один, Ло Минь посвящала всё своё время исследованиям.
Как только начинала исследования, Ло Миня практически полностью отдавала себя им, словно в те времена, когда ещё училась. Поэтому уже давно они не общались так активно.
Неизвестно почему, но это немного его огорчило.
Откуда же появились эти чувства?
Он покачал головой и больше не думал о пустяках.
Продолжая идти по тропинке вдоль озера, он иногда встречал других сотрудников института и здоровался с ними.
Но вот почему в последнее время он так часто приходил к озеру, главным образом потому что в это время постоянно думал о том, какой следующий шаг ему предстояло сделать.
— Теория или прикладные технологии?
Это очень серьёзный вопрос, который стоит обдумать.
Первый вариант позволяет удовлетворить внутреннюю потребность, а второй — иметь шанс принести пользу всему человечеству.
Однако исследование первого варианта, независимо от его успеха или неудачи, может принести внутреннее удовлетворение. Ведь главное — сам процесс исследования, а результат не так сильно влияет на жизнь.
Что касается второго варианта, то обычные проблемы его не интересуют, но всё более сложные и интересные вопросы он ставит перед собой. Поэтому можно предположить, что есть шанс на решение, но оно не гарантировано.
Получается, я все-таки немного завысил свои цели?
Сяо И невольно подумал.
Эм, но если честно, он планировал изучать теоретическую проблему гипотезы Римана. Если уж говорить о том, какая проблема более амбициозна, то, кажется, с этим не так просто определиться.
Если бы кто-то другой это увидел, то, наверное, каждый вопрос казался бы ему немного за гранью реальности.
— Эм…
— Ладно, слишком много переживать тоже не дело.
Поднял руку и посмотрел на часы.
После обеда ещё будет урок теории чисел, сейчас можно ехать в школу.
Может быть, если он пойдет на занятия, ему придут новые мысли?
Затем он повернулся и направился обратно, одновременно позвонив Ван Ли и попросив его приехать за ним в школу.
Поздним днем в математическом отделе университета науки и техники состоялся урок в аудитории первого курса имени Хуа Логэна.
Переполненная аудитория ожидала прихода своего преподавателя; в ней были студенты всех курсов.
Несмотря на то что прошло немало лет, студенты университета прекрасно знакомы со своим знаменитым преподавателем. Тем не менее, к занятиям Сяо И они проявляют огромный энтузиазм.
Даже будущие выпускники не пропускают его лекции. Возможно, среди них есть те, кто никогда не пропускал ни одного занятия у Сяо И.
Несмотря на то, что Сяо И уже говорил, что слушатели прошлых лет могут не приходить в этом году, освободив место для других желающих, энтузиазм студентов всё равно никуда не делся.
К счастью, благодаря тому, что в начале всё было согласовано с администрацией университета, сейчас на его лекциях практически все — студенты математического факультета. Это позволило избежать ситуации, когда бы студенты других факультетов пришли и заняли бы все места у математиков. Так вот, время шло, и к 15:45 оно уже подошло.
В дверях класса появился Сяо И.
Среди учеников в классе одни уже встречали Сяо И на предыдущих занятиях, а другие впервые увидели его, расположившись на свободных местах.
В любом случае, все были взволнованы.
Ведь он был их кумиром, даже самым уважаемым человеком. Встретиться с ним и испытать волнение — вполне нормально.
А Сяо И к этому уже привык.
Этих молодых людей просто невозможно исправить.
— Ммм...
В этом году ему уже 24 года, для него эти студенты, которые ещё не окончили бакалавриат, действительно можно назвать молодыми.
Он слегка прижал руку, чтобы указать присутствующим студентам немного успокоиться. До начала занятий в 15:55 оставалось 10 минут, и кто знает, не станут ли эти студенты продолжать шуметь.
— До начала занятий ещё 10 минут. Если у вас остались вопросы по прошлой лекции или возникли какие-либо трудности во время самостоятельной работы, обратитесь ко мне.
Он произнес это, как обычно, и затем сел на стул за кафедрой, ожидая.
Через несколько минут к нему подошла группа студентов с блокнотами и другими бумагами в руках.
Этот этап уже давно стал неотъемлемой частью его лекций.
Это также является причиной, по которой некоторые студенты, уже прослушавшие его курс по теории чисел, всё равно часто посещают его лекции ради этого этапа ответов на вопросы. Особенно потому что он не ограничивается ответами на вопросы по теории чисел и может ответить на любые математические вопросы.
И даже некоторые магистранты пропускают собственные занятия, чтобы просто прийти на его лекции и задать ему вопросы по своим научным работам.
Среди этих магистрантов есть даже аспиранты.
Это заставило некоторых преподавателей шутить над Сяо И, спрашивая, не могли бы они тоже притвориться студентами и задавать ему вопросы на его лекциях.
К доске подошло около двадцати студентов, выстроившись в очередь, чтобы задать Сяо И вопросы.
Конечно, вопросы, которые они задавали, не были особенно сложными, поэтому Сяо И мог ответить на них практически сразу.
Менее чем за полминуты он ответил на один вопрос, и так, через некоторое время, все вопросы двадцати с лишним человек были заданы и отвечены.
В этот момент прозвенел звонок на урок, и урок официально начался.
Ну что ж, ребята, начнем урок.
В конце предыдущего урока мы говорили о некоторых вещах, связанных с простыми числами.
Я думаю, все вы уже знаете, что простое число — одно из самых важных понятий в теории чисел. Оно связано со многими проблемами.
Самым важным среди них является вопрос о распределении простых чисел.
В этом уроке мы поговорим именно об этом — о распределении простых чисел.
Сяо И повернулся и на доске написал четыре слова:
— распределение простых чисел.
Тогда нам нужно вернуться к самому главному вопросу: зачем мы изучаем распределение простых чисел?
Э-э, конечно, если вы всё ещё сомневаетесь в практической пользе этого исследования, то советую вам не тратить время на поиски ответов на вопросы, которые наверняка останутся без ответа.
Студенты рассмеялись. Это была одна из любимых фраз профессора Сяо, которая служила им напоминанием о том, что изучение чистой математики не всегда имело практического значения. —
Скорее всего, это было связано с тем, что его часто спрашивали студенты о практической пользе исследований в теории чисел. —
Если бы это сделал, например, Перельман или какой-нибудь другой математик с более резким характером, как Фартингс, он бы безжалостно выгнал таких студентов.
Сяо И, наверное, сказал бы, что в его прошлом опыте применения математики к различным практическим задачам никогда не использовал такого чистого математического подхода.
После этого он скажет на уроке что-нибудь вроде того: —
Он повернулся и начал рассказывать присутствующим ученикам об истории изучения распределения простых чисел и о происхождении различных теорий, связанных с этим.
Это можно было считать повторением некоторых тем, изучавшихся ими ранее.
Ранее они уже изучали другие аспекты простых чисел, например, их бесконечность и метод Эратосфена.
Текущее распределение простых чисел является итогом применения всех этих предыдущих знаний. «В этот момент нам следует поговорить о... теореме о распределении простых чисел».
— Я думаю, что ученики класса Хуа Логэна, скорее всего, хорошо знакомы с теоремой о распределении простых чисел. Вы могли бы столкнуться с ней во время участия в математических конкурсах.
— Теорема о распределении простых чисел описывает приблизительное распределение простых чисел среди натуральных чисел. Это один из важнейших результатов в математике, изучающей распределение простых чисел. Она была независимо доказана французским математиком Жаком Адамаром и бельгийским математиком де ла Валле-Пуссен в 1896 году, поэтому в математическом сообществе ее принято считать совместным достижением этих двух учёных.
— С помощью теоремы о распределении простых чисел мы можем очень точно определить приблизительное распределение простых чисел и извлечь из нее много информации. Например, в моем доказательстве гипотезы Эллиотта-Хальберстама широко использовались результаты, полученные на основе этой теоремы.
Сяо И сказал:
- Здесь мы немного расширим круг вопросов. Вы знаете, какие знания использовали Жак Адамар и де ла Валле-Пуссен при доказательстве теоремы о распределении простых чисел?
Вскоре несколько учеников подняли руки.
Сяо И вспомнил, что это ученик из его группы первого курса, обучавшийся у Хуа Логэна.
Товарищ, расскажите нам об этом.
Товарищ быстро поднялся и очень уверенно сказал: “Я помню, что они в основном использовали знания, предоставленные Риманом в виде функции ζ(s), а ключевым шагом является доказательство того, что если комплексное число s можно представить в форме 1 + it, и t больше 0, то ζ(s) ≠ 0.”
Сяо И удовлетворенно кивнул:
— Хорошо, видно, что у тебя есть определённое глубокое понимание этой области.
Затем он спросил у этого студента его имени и сказал, что добавит ему несколько баллов к текущей оценке.
Этот студент тут же с радостью уселся.
— Хорошо, вот то, что я хочу вам показать: функция Римана ζ.
— Функция Римана ζ связана с методами комплексного анализа. Что касается комплексного анализа, вы сможете изучить его позже, и это будет довольно важным направлением. Поэтому, пользуясь случаем, я сейчас расскажу вам о нем немного раньше: аналитическое продолжение в комплексном анализе. Это также один из самых важных аспектов функции Римана ζ.
— Аналитическое продолжение – это то, что мы делаем искусственно с областью определения аналитической функции. Мы изменяем область определения, расширяя ее с более маленькой на большую, а затем изучаем функцию в этой новой области, чтобы получить больше полезной информации.
— ...
Сяо И иногда испытывал гордость от того, что его класс носил имя Хуа Логэна. Поэтому, даже когда он говорил о сложных вещах, ученики воспринимали это с пониманием и, скорее всего, после уроков продолжали заниматься самостоятельно.
Объясняя метод анализа продолжения, автор помог большинству учеников быстро понять его суть.
Сяо И ещё кратко продемонстрировал, как с помощью метода анализа продолжения можно доказать, что 1 + 2 + 3 + 4 + … равно -1/12.
Но, заметив, что некоторые ученики всё ещё не поняли, Сяо И немного подумал и сказал:
— Тогда я покажу вам ещё один более простой способ.
— Под аналитическим продолжением понимается то, что мы игнорируем границы области определения.
Возможно, некоторые из вас не сразу поймут, почему нужно игнорировать границы области определения. Вы думаете, что мы не можем обсуждать функции за пределами области определения, и это бессмысленно.
— Но по мере того как ваше понимание математики увеличивается, вы сможете это понять. Сейчас вам достаточно знать, что, в том числе и гипотезу Римана, всё строится на этой основе.
Чтобы вы могли понять, я объясню это с помощью эллиптических кривых с другой точки зрения.
Сяо И повернулся и начал писать на доске.
— Вначале мы дадим уравнение эллипса, представив его в виде y² = x³ + ax + b, где a и b — действительные числа.
Эллиптические кривые изучаются в старших классах средней школы, поэтому эти первокурсники, которые успели учиться всего два месяца, естественно, помнят о них.
Благодаря разъяснениям Сяо И они смогли легко, опираясь на свои первоначальные представления об эллиптических кривых, постепенно начать понимать этот процесс аналитического продолжения.
В отличие от других, метод объяснения Сяо И был совершенно новым подходом к аналитическому продолжению. Он начинал с эллиптических кривых и включал в себя частичные знания о модульных формах и L-функциях. Несмотря на то что большинство студентов не знали, что такое модульные формы и L-функции, поскольку Сяо И объяснял лишь часть этих концепций, ему было несложно понять его.
Что касается остальных студентов, то они остались немного в недоумении.
Однако для нескольких аспирантов, присутствовавших на лекции, это стало настоящим шоком.
Можно ли интерпретировать расширение с такой точки зрения?
Они, конечно, не могли увидеть все, но все же понимали, что в методе Сяо И использовано множество различных элементов. Все, что им удавалось заметить, - это лишь форма модулей.
Внезапно всех поразило.
Профессор Сяо ради хорошей лекции действительно старался изо всех сил! Даже придумал способ объяснить и продемонстрировать расширение.
Однако они не знали, что этот метод Сяо И придумал только что.
Но то, что он сумел прийти к этому методу, было не совсем случайностью.
Потому что в нём заложены его размышления о гипотезе Римана, которыми он занимался в последнее время.
Гипотеза Римана — это самая главная загадка о распределении простых чисел!
До самого конца.
— …Вот и все, мы успешно перешли к определению области этого эллипса.
— Теперь мы начинаем расширять область определения.
— Вот и всё, мы успешно перешли к определению области этого эллипса.
— Теперь все понятно?
Сяо И обернулся. К этому времени студенты, которые раньше были немного растерянны, в основном разобрались.
Что касается тех, кто всё ещё не понял, ему уже было нечего поделать.
Хотя многие математики утверждали, что математика — не просто игра для гениев, иногда он добавлял в конец фразы «хотя и никогда не говорил, что это игра для всех».
Он дал присутствующим студентам время на размышление, а затем повернулся и вновь посмотрел на метод, который он только что предложил. Вдруг его овладели раздумья.
В тот момент, когда его мысли текли свободно и он придумал это, он ещё не заметил.
Но сейчас, когда он снова взглянул на это, ему вдруг стало ясно, что этот новый метод анализа процесса расширения разложения, кажется, обладает чем-то особенным.
Если бы он добавил в этот метод ещё и некоторые методы алгебраической геометрии…
Может быть, он сможет напрямую преобразовать процесс аналитического продолжения любой аналитической функции в алгебраическую геометрическую задачу на эллиптических кривых?
Или же прямо сказать, что его основная цель — непосредственно преобразовать формулировку гипотезы Римана в подобную задачу?
В его голове неожиданно разразился настоящий шквал идей.
Только вот ученики в классе точно и не подумают, что их профессор Шяо сейчас размышляет над решением гипотезы Римана.
…