Глава 223 Единственный вопрос Тао Чжэхуа
Для более эффективного обработки сложных ситуаций и принятия решений нам нужен новый функциональный класс со следующими свойствами.
способный контролировать регулярность решений, способный контролировать рост нелинейных членов и способный обрабатывать более общие начальные условия.
Во-первых, давайте перечислим несколько распространенных функциональных пространств.
Самым важным из них является пространство Соболева. Пространство Соболева часто используется в исследованиях по гидродинамике, поэтому свойства этого функционального пространства могут быть очень полезны.
На сцене Сяо И написал на доске пространство Соболева.
Помимо этого существуют и другие виды функциональных пространств.
В Китае есть старая поговорка:
— Извлекай суть, отбрасывай ненужное, то есть брать то, что полезно, и оставлять в стороне то, что не нужно.
Конечно, это всего лишь метафора. Ведь те части, которые мы отбрасываем, нельзя назвать бесполезными, просто они нам не помогают в исследовательской работе.
Тогда, кроме пространства Соболева, идёт пространство Бесова...
С помощью различных аналитических методов мы проводим тщательный анализ и исследование этих функциональных пространств.
Постепенно очертания пространства Шё становились все яснее.
На собрании люди все больше удивлялись поразительной аналитической силе Сяо И.
Если бы кто-то другой был на месте, он, наверное, не смог бы так скомбинировать столько функциональных пространств.
Конечно, если бы просто извлекали суть из этих разных пространств, этого было бы мало.
Поэтому в этом ещё есть что-то новое.
Таким образом, когда Сяо И завершил анализ различных функциональных пространств, он начал добавлять в эскиз пространства Сяо новые элементы.
Ммм, вот здесь я уже не понимаю.
Теренс Тао покачал головой и сказал:
Стоявший рядом Фефферман невольно удивился:
— Ты не понимаешь? Это шутка!
После того, как Сяо И опубликовала свою статью, первым с мнением выступил Теренс Тао, значит, он её точно понимал.
Теренс Тао улыбнулся и сказал:
- Я имею в виду, мне непонятно, как ему вообще пришла такая мысль
Фефферман озадачился и с сожалением сказал:
— Действительно... я уже не понимаю.
Теренс Тао слегка кивнул и сказал:
- Неважно, была ли это теория взрывных тенденций в начале, или же то, как он сейчас использует свойства пространства Собелева, я в целом могу понять его логику, представить, о чем он думал на каждом шаге
— Но вот сейчас… я просто не могу додуматься.
Фефферман слегка кивнул, демонстрируя некоторое задумчивое молчание.
Теренс Тао повернулся и взглянул на стоящего рядом Син-тун Яу, и спросил:
— Профессор Яу, вы с Сяо И оба родились в Китае? Можете догадаться?
Син-Тунг Яу пожал плечами и сказал:
— Вы слишком меня превозносите, я даже не могу догадаться.
— Более того, такой способ мышления не имеет никакого отношения к месту рождения.
Теренс Тао рассмеялся и сказал:
— Может быть?
После этого они больше не разговаривали.
Тихо наблюдала, как Сяо И продолжал выводить уравнения.
Хотя они и не могли догадаться, как у Сяо И рождаются эти идеи, это не мешало им насладиться его живыми выводами.
Кстати, уже довольно долгое время они не видели, как Сяо И проводил доклады, и естественно, не наблюдали за его живым выводом.
Сколько бы они ни смотрели, им всё равно приходилось признавать, что каждый раз выводы Сяо И поражали их своей красотой.
Кроме таких математических гениев, как они, на месте присутствовали зрители из других сфер.
Например, физики и гидродинамисты.
Для них в этот момент то, что Сяо И писал на доске, казалось чем-то сверхъестественным.
Такой сложный процесс вывода могли понять лишь те, кто специализировался на математике.
Похоже, у Диаби приехал их главный инженер учиться. В этот момент он с мертвыми глазами смотрел на выводы Сяо И. На доске были сложные процессы, в том числе математические символы из игровой индустрии. Даже этот высокооплачиваемый эксперт, зарабатывающий более 10 миллионов в год, не мог их понять. Он невольно пошутил с коллегой:
— Черт возьми, эти математики действительно сумасшедшие. Они могут продолжать изучать такую чушь?
Его коллега ответил с улыбкой:
— Не смотри же, как эти математики-гиганты с упоением смотрят на это.
Он посмотрел в ту сторону, куда указывали коллеги. Там сидели математики, среди которых был Теренс Тао.
Главный инженер усмехнулся и наконец сказал:
— Хорошо, что я тогда не пошёл учиться в чистую математику в Пекинский университет, а выбрал механическое. Эта математика мне всё равно не даётся.
А с другой стороны студенты из разных университетов провинции Хуэй уже почти уснули.
Хотя они и считались фанатами Сяо И, полностью выслушать этот доклад, который был даже сложнее математических занятий, им было бы совершенно невозможно.
Тем более что это был доклад на английском языке, ведь присутствовало так много иностранцев.
Среди них было немало тех, кто даже не сдал экзамен по английскому языку на четвертый уровень.
Вы понимаете, о чём говорит Сяо Шэнь?
Кто-то тихо спросил у соседа?
Одноклассник закатил глаза:
- Я даже не понимаю, что он пишет, да уж тем более о чём говорит
В конце концов они оба вздохнули.
- Этот доклад не для нас, этих мелких Каламеевых.
- Ничего, что мы смогли увидеть Сяо Шэня и принять участие в этом докладе о доказательстве мирового уровня математической задачи, во всяком случае, мы стали свидетелями истории.
- Действительно, ведь участие в этом докладе бесплатно, это не проблема. Думайте, я же учусь связям.
- Связист? Я вот тут пару дней назад в интернете видел, что кто-то на платформе «Сяньюй» продаёт антенны для связи. Потом его спросили, не тот ли он, который делает эти антенны. Ты знаешь об этом?
- Тот парень, который учился на связиста, тотчас позеленел от злости и сказал: “Чёрт возьми, вы опять за старое! Нашему факультету связи уже досталось столько негатива!
…
Пусть неважно, куда ушли поклонники и зрители Сяо И, на сцене Сяо И уже завершил анализ и выводы по всем частям пространства Сяо.
— Таким образом, родился совершенно новый функциональное пространство.
— Пространство Сяо обладает многими превосходными свойствами в гидродинамике, что мы легко можем видеть.
— Например, три условия, которые я привёл ранее.
— Кроме того, оно хорошо воспроизводит основные свойства различных моделей жидкостей.
— Уверен, что в недавнем научном сообществе уже появились немало статей, подтверждающих это.
— Подробности я не буду больше излагать, уверен, что в научном сообществе исследования пространства Шэо будут гораздо шире, чем я могу себе представить. А теперь перейдем к главному пункту нашего доклада — доказательству существования и гладкости решений уравнения НС!
— Мы подошли к финальной стадии, и большинство присутствующих заметно расслабилось. Ведь с завершением пространства Шэо все ключевые инструменты для доказательства уравнения НС собраны.
— Всё готово, ветер с востока уже подул. Остальное произойдёт само собой.
Конечно, всё же есть определённый порог.
— Сначала нам нужно знать ключевые шаги доказательства существования решения.
— Во-первых, существует множество слабых решений. На этом этапе нам достаточно воспользоваться неравенством энергии и теорией компактного вложения, чтобы доказать их существование.
— Во-вторых, регулярность слабых решений. Изучая свойства пространства Шё, мы доказываем, что слабые решения обладают более высокой регуляризацией в пространстве X.
— В-третьих, существует возможность нахождения сильных решений. С помощью итерационного метода и теоремы о неподвижной точке мы доказываем их существование.
Сяо И начал писать на доске, которую стерли снова.
— В конце концов, мы используем метод псевдогладкости для построения последовательности приближённых решений (Un).
$$\sum_{i=1}^{N} a_i(t) \cdot i(x)$$
Затем, подставив Un в уравнение NS, получим конечномерную систему уравнений.
{(Ун/т, дж) + ((Ун)Ун, дж) = (пн, дж) + ν(ΔУн, дж) + (ф, дж)}
В конце концов, с помощью оценки энергии мы доказываем ограниченность последовательности приближенных решений (Uₙ), а с использованием теоремы о компактном вложении завершаем доказательство существования решения.
Что касается гладкости решения, то на этом этапе оно уже очень просто.
Здесь мы в основном используем оценки высокой степени энергии и повышение регуляризации.
Сначала, воспользовавшись свойствами пространства Шё, мы проводим оценку энергии высокого порядка.
$$\frac{d}{dt} \|u\|^2Hs + 2\nu \|u\|Hs^2 \le C(\|u\|^2Hs + \|f\|^2Hs)$$
Затем, с помощью теоремы о вложении, мы повышаем регулярность решения, и в итоге доказываем его гладкость.
Доказательство завершилось.
После того, как Сяо И сделал жирную точку на доске, он повернулся к слушателям.
До этого мы доказали, что движение жидкости гладкое, каждая молекула жидкости — это непрерывный процесс.
Они не совершают никаких действий, непонятных нам, они не могут просто сидеть в этой чашке и внезапно взорваться.
Сяо И открыл крышку чашки в руках, сделал глоток и улыбнулся: — То же самое касается и их. После того как они попадут ко мне в желудок, они тоже не взорвутся.
В общем-то, поведение жидкости можно предсказать.
По этому поводу он также высказал своё мнение:
— То же самое касается и плазмы, я думаю. Её поведение тоже можно предсказать.
Затем он слегка поклонился: — Ну вот, закончил свой рассказ. Если у кого-нибудь есть вопросы, задавайте, пожалуйста.
Очень скоро немало людей подняли руки.
Сяо И выбрал из толпы мужчину среднего возраста с инородным видом, напоминавшего профессора.
Он встал, взял микрофон из рук сотрудника и спросил:
— Уважаемый профессор Сяо, я Джимми Лоуренс с физического факультета MIT. Пожалуйста, скажите, какую роль играют пространства Соболева и Бесова в определении пространства Сяо? Я заметил, что во время выступления вы уделили особое внимание именно этим двум пространствам.
Сяо И кивнул:
— Хороший вопрос.
Я выделяю пространства Соболева и Бесова именно потому, что у каждого из них есть свои преимущества. Пространство Соболева обладает хорошей регуляризацией и оценками энергии, а пространство Бесова очень эффективно для обработки локальной гладкости и малых масштабных структур. Объединяя эти два пространства, мы можем обеспечить как общую регулярность при решении уравнений Навье-Стокса, так и улавливать локальную сложность и детали.
Конечно, просто так сказать может быть не совсем понятно. Я же попробую продемонстрировать это математически.
Теперь мы просто подставим пространства Соболева и Бесова в пространство Шё, получим...
{u ∈ Hs(Ω) ∩ Bsp,q(Ω) : ||u||X