Глава 173 Математический и физический карнавал
— Чувствую… он стал другим, чем прежде.
В зрительном зале Шольц посмотрел на выступающего на сцене Сяо И и невольно произнес:
Фартингс, стоявший рядом, улыбнулся и спросил:
— Где же он стал другим?
— Эм… все здесь по-другому, — сказал Шульц.
Фартингс улыбнулся, повернул голову и снова посмотрел на Сяо И, стоящего на сцене, и сказал:
— Если коротко, то на нем появилась настоящая аура мастера.
Шёльц опешил:
— Аура мастера?
Фартингс кивнул и сказал:
— Ранее его доклады начинались без подобных светских бесед, сразу переходили к сути дела. А сейчас, выступая перед такой большой аудиторией, он позволяет себе отдохнуть и поболтать, что говорит о том, что он в нашем присутствии пребывает в полном спокойствии, словно мы все пришли послушать его мудрость — хотя это и так.
— Так ведь, — задумчиво кивнул Шульц и сказал:
- Ведь он даже доказал существование межмерных разрывов, значит, он, конечно же, мастер.
— Это не обязательно, — покачал головой Фартингс:
— А ты считаешь себя мастером?.
— Я?» — Шольц опешил и несколько раз отрицательно качал головой: «Как я мог бы быть мастером…
— По крайней мере ты сам себе это признаёшь, — сказал Фартингс, улыбаясь.
Выражение лица Шульца сразу же стало неловким.
— Чтобы считаться мастером, нужно не только достичь мастерства в результатах, но и оставить свой след в истории математики. Это могут позволить себе лишь немногие. В последние годы, пожалуй, только Гротендик и Серна.
Фартингс сказал:
— А ещё важнее — изменить свою внутреннюю сущность. По крайней мере, нужно признать свои способности в сердце, только тогда ты сможешь считаться настоящим мастером.
— Ты еще должен хорошо потрудиться, — сказал Фартингс, хлопнув Шольца по плечу. — «Конечно, я все равно верю в тебя, ведь уже говорил об этом в СМИ: ты один из трех математиков, которых я больше всего ценю, так не подводи меня».
Шольце серьёзно посмотрел на него:
— Я постараюсь вас не разочаровать.
Фартингс улыбнулся и кивнул головой.
Но Шульц в этот момент снова сказал:
— Так вы считаете себя мастером?.
— Я?
В ответ на этот же вопрос Фартингс просто улыбнулся и махнул рукой:
— Нет, я не считаю себя таким.
Тем не менее, Шольц считал, что ответ Фартингса был просто вежливым уклонением от прямого ответа.
Это был совершенно другим ответом, чем его предыдущий.
Внезапно ему стало ясно, что Фартингс имел в виду под словом «натура мастера».
Примерно как в какой-то игре, в которую он когда-то играл, один персонаж говорил:
— Истинный мастер всегда хранит сердце ученика.
— Ладно, слушай доклад спокойно, — напомнил Фартингс. — "Сегодня ты увидишь истинное лицо метода Хочи — вершины алгебраического анализа своими глазами. Это действительно захватывающе."
Шольце пришёл в себя и снова обратил внимание на сцену.
А в это время Сяо И уже начал излагать ход своего доказательства.
— Несомненно, доказать проблему разрыва качества — долгий и сложный процесс, требующий изучения различных аспектов.
— Я попытался подойти к решению с четырех сторон. Во-первых, это решетчатая QCD – метод численного моделирования, который, думаю, всем знаком. Он заключается в дискретизации пространства-времени, что позволяет нам довольно легко проверить существование разрыва качества. Однако, как известно, численное моделирование не может заменить строгую математическую логику и не может быть преобразовано в настоящий математический доказ.
— Затем я рассмотрел уравнения Швингера–Дайсона. Если удастся найти нетривиальные решения для функции самодействия глюонов, это косвенно подтвердит существование разрыва качеств.
Сяо И начал на доске демонстрировать результаты применения метода Швингера-Дайсона.
В конце концов, достигнув весьма важного прогресса, из-за чрезмерной сложности полученных решений он отказался от дальнейших шагов.
— Затем есть метод ренормируемых групп, анализирующий поведение теории Ян-Миллса при различных масштабах энергии. Я обнаружил в потоке ренормируемой группы вид невозмутимого фиксированного пункта, что указывает на возможное существование разрыва массы, но к сожалению, сложность решения этой проблемы всё ещё выходит за пределы наших возможностей.
— Четвертый метод использует дуальность AdS/CFT, чтобы через отношения между конформным полем и обратным де Ситт пространством понять невозмутимые свойства теории Ян-Миллса. Несмотря на то что он предлагает новый взгляд, конечная сложность все еще выходит за приемлемые пределы.
— Глядя на то, как Сяо И демонстрировал эти методы, многие из присутствовавших были поражены.
— Практически каждый из представленных методов значительно превзошёл их ожидания и вышел далеко за рамки достижений академического сообщества в этой области.
— Физики, присутствовавшие на месте, были в полном недоумении. Эти методы использовали математику, которая им была совершенно непонятна. И всё же они не смогли решить проблему.
— У всех присутствующих сложилось ещё более полное представление о сложности проблемы массы и энергии.
— Как же Сяо И смог решить эту проблему?
— В конце концов я ориентировался на подход топологической квантовой теории поля.
— Теория Ян-Миллса обладает богатой топологической структурой, поэтому попытка прорыва через TQFT вполне понятна.
— И как оказалось, этот выбранный мною угол оказался верным.
— Для поля Ян-Миллса А на S⁴ его кривизна F удовлетворяет: F = dA + A ∧ A.
— Число *c* определяется как: *c* = 1 / (8π²) ∫S⁴ Tr(*F* ∧ *F*) .
Сяо И повернулся и начал писать на доске, говоря:
— После того как я приступил к работе, я начал наблюдать, как теория Ян-Миллса проявляется на четырёхмерном сфероиде. Как известно, этот четырёхмерный объект обладает очень особыми топологическими свойствами.
— Четырёхмерный сфероид S⁴ — это компактно-непрерывное четырёхмерное многообразие. Он обладает топологическими свойствами простого связного характера и нулевыми гомологиями высокого уровня, что упрощает наш анализ.
— Поэтому мы естественным образом приходим к мысли использовать поля обратных самодвойств и оператор «Хоча двойственности.»
Предположения о Сяо И возрождаются.
Когда он на доске построил то, о чем говорил — поле обратных самодвойств, многие физики в зале тут же вспомнили X-поле, которое Сяо И вывел из этого поля обратных самодвойств.
Осознав это, они тут же обрадовались: наконец-то им удалось найти первоначальное происхождение X-поля! А если внимательно изучить выводы Сяо И, то и механизм действия X-поля станет ещё более ясным.
В этот момент они с нетерпением ждали, что же покажет в итоге Сяо И, и как его работа поможет исследованиям в теоретической физике.
Ведь в своём резюме к докладу Сяо И прямо указал, что расскажет о практическом значении своих выводов для физики.
Так и получилось, что математики с нетерпением ждали анализа теории Хох-вершинных алгебр, а физики — окончательных выводов о практическом значении их для науки. Каждый мечтал о светлом будущем.
…В конце концов, мы смогли сформулировать теорему: пусть G — это компактная простая группа Ли, а A — это Ян-Миллс поле, определенное на четырёхмерной сфере S^4. Если существует ненулевое число cChen, то состояние наименьшей энергии возбуждения поля A имеет строго положительный разрыв массы.
…Очевидно, что эта теорема эквивалентна проблеме разрыва массы. Доказав ее, мы одновременно доказываем существование разрыва массы.
… В зале слушатели затаили дыхание, внимательно наблюдая за тем теоремой, которую выдвинул Сяо И.
- Вот так, оказывается, он довел топологическую квантовую теорию поля до такого уровня...
На первом ряду, среди главных слушателей этого доклада, сидел Эдвард Виттен. На коленях у него лежала чистая бумага, и он следил за выступлением Сяо И, записывая на ней свои рассуждения.
В конце концов он поднял голову и посмотрел на Сяо И с ещё большим удивлением в глазах.
Способность вывести это эквивалентное соотношение почти исчерпала все применимые методы, соединив квантовую теорию поля с новым уровнем совершенства. Технологический подход превзошёл его ожидания.
В этом были задействованы теория Черна–Симмонса, которую он когда-то изучал, а также четырехмерные топологические инварианты, теории векторных пучков и множество других сложных математических методов.
Умение овладеть таким количеством методов было само по себе огромным достижением, не говоря уже о том, чтобы привести их в гармонию и применить к решению такой сложной задачи, как разрыв массы.
В качестве ведущего математического физика, Виттен в этот раз получил более глубокое понимание математических способностей Сяо И.
Однако, уже применив методы до такого уровня, можно было вывести лишь эквивалентную теорему?
Что же делать дальше, чтобы доказать?
Наверное, это именно тот широко известный метод анализа Хоч-вершинной алгебры?
В сердце Виттена загорелось ожидание от этого метода.
А в этот момент, выведя это теорему, Сяо И на сцене повернулся к зрителям и слегка улыбнулся:
— Мы получили отношение эквивалентности. Следующий вопрос — как нам доказать эту теорему?
Затем он перевернул слайд на следующую страницу.
На этой странице было то, что вдохновило Сяо И — гипотеза Хоча.
— Гипотеза Хоча относится к ряду гипотез о циклических алгебраических объектах на алгебраических многообразиях и тесно связана с гипотезой Хоча, но является более конкретной и техничной.
— Сейчас вы можете посмотреть формулировку этой гипотезы и подумать, можно ли найти связь с тем утверждением, которое я только что привёл.
Сяо И договорил и остановился, взял свой стакан с водой и сделал глоток.
В зале почти все были ошеломлены.
Неужели вы действительно хотите, чтобы мы наблюдали?
Не вы ли нас слишком преувеличиваете? Что же можно в этом увидеть?
Для подавляющего большинства людей даже формулировка этой гипотезы непонятна. Для проективного алгебраического многообразия X, определенного над полем комплексных чисел и не имеющего изолированных точек, рассмотрим алгебраический цикл Z в (p, p)-гомологическом классе этого многообразия. 2. Определим оператор L(Z): Hm(X, Q) → Hm+2p(X, Q), где Hm(X, Q) — m-я гомологическая группа X с коэффициентами в поле рациональных чисел. 3. Гипотеза утверждает, что для подходящего p оператор L(Z) является положительно определенным.
Понимаете?
Под сценой, в зоне, где находились Е Чэн и другие, все смотрели на то, что Сяо И показал, и были ошеломлены.
Что это за фигня? —
Чэнь Мухуа глубоко зевала.
В это время они находились фактически в полусонном состоянии.
Как будто вернулись к жаркому дню из второго класса средней школы, слушали учителя на уроке о кривых эллипсов, а сами уже зевали и мечтали уснуть прямо там.
Конечно, для них, этих одарённых математиков, то, что учитель рассказывал тогда, было вполне понятно. Но сейчас, когда Сяо И говорил, они ничего не понимали.
— Не думай об этом, брат Сяо наблюдения не для нас организовал, а для тех, кто идёт впереди, настоящих экспертов. Лу Пин махнул рукой и спокойно сказал.
Для них самое главное — принять реальность.
Однако, если говорить честно, те «большие игроки», сидевшие в первом ряду, ни с какой стороны не могли понять, что происходило.
Кроме того, зачем Сяо И вдруг задал этот вопрос?
Неужели он хочет доказать гипотезу Хоча?
— Что ты шутишь?
Доказал проблему разрыва массы, а теперь еще и хочешь доказать гипотезу Хока?
Надо понимать, что в математике есть много гипотез, по сложности ничуть не уступающих тысячелетним семи проблемам, а гипотеза Хоча — одна из них. Самое главное в тысячелетних проблемах — это не только их сложность, но и ценность, которую они приносят академическому сообществу после решения.
Конечно, Сяо И не стал ждать. Выпил воды и продолжил:
- После наблюдений мы можем очень легко связать эту проблему с некоторыми инструментами из теории Хоча
— Во-первых, это декомпозиция Хоча, а во-вторых, алгебра вершин.
— Декомпозиция Хоча является одним из ключевых понятий теории Хоча, она разлагает де Рама homology на комплексных алгебраических многообразиях на части типа (p, q). С другой стороны, алгебра вершин, являясь важным инструментом в квантовой теории поля и алгебраической геометрии, может быть использована для описания алгебраических структур в конформных теориях.
— Что даст нам их объединение?
Сяо И не ответил прямо, а начал писать на доске.
— Рассмотрим алгебраический многочлен X. Его группа де Рама HkdR(X, C) может быть представлена с помощью разложения Хоча.
HKdR(X, C) = Σ_(p+q=k) H^(p, q)(X)
— Точечная алгебра — это алгебраическая структура, используемая для описания операторной алгебры в двумерных конформных теориях поля. Пусть V — точечная алгебра; ее содержащиеся операторы удовлетворяют определенным соотношениям коммутации и локальным условиям. В частности, точечная алгебра обладает состоянием пространства V = ∪_{n∈Z} Vn, где Vn — подпространство с энергией n.
— Теперь рассмотрим точечную алгебру V, действующую на гомологии Хольда. Конкретно, пусть операторы V действуют на Hp,q(X), и определим отображение.
[φ: VH^(p, q)(X) → H^(p′, q′)(X)]
Где p' и q' определяются операторами свойств вершинной алгебры.
Дойдя до этого места, Сяо И повернулся и слегка улыбнулся:
- Благодаря такому построению можно объединить структуру Хоч с рамкой вершинной алгебры. Получается конфигурация Хоч-вершинной алгебры
— Но тут возникает новый вопрос: как мы можем использовать эту конфигурацию?
— Если её нельзя использовать, то даже объединив, она всё равно останется лишь абстрактной идеей без практической ценности.
— Поэтому в этот момент нам нужно применить пространство мод и одновременно ввести классы структур Ходжа.
— Рассмотрим пространство мод X, M, на котором точки соответствуют некоторым геометрическим объектам, например классам эквивалентности векторных пучков, алгебраических множеств и т.д. Используя уже упомянутую конфигурацию Ходж-вершины, мы можем изучать структуры Ходжа на пространстве мод.
$$H^k_{global}(M, C) = \sum_{p+q=k} H(p, q)_{global}(M)$$
Когда Сяо И добрался до этого места, в зале раздался взрыв аплодисментов.
Увидев эти процессы, представленные Сяо И, математики были в полном изумлении.
Это и есть метод анализа Хоча-вершины?
Такое гениальное выведение, да еще и с таким применением метода…
Почти так, будто все инструменты теории Хоча были полностью объединены?
— И сейчас предлагаемое модульное пространство…
В этот момент в их сердцах рождалась лишь одна мысль: алгебраическая геометрия вот-вот изменится.
На своих местах, в том числе и Делинь из Принстона, все ученые были полностью поглощены происходящим. Делинь наклонился вперед, словно пытаясь рассмотреть написанные на доске выводы более пристально; ему не хватало совсем немного, чтобы встать и подойти к доске.
— Этот метод… этот метод… Если бы я мог использовать его для доказательства гипотезы Вейля, — сказал Делинь, — учитель наверняка был бы доволен.
— Ты имеешь в виду, что этим методом можно доказать гипотезу Вейля?
Рядом с Делином Бомбьери тут же с изумлением спросил.
— Конечно, и…, — прошептал Делинь, — “это позволит мне избавиться от других дополнительных структур и осуществить чисто алгебраико-геометрическое доказательство гипотезы Вейля”.
Бомбьери, впрочем, понял смысл слов Делиня.
Гипотеза Вейля, будучи одной из важнейших гипотез в алгебраической геометрии, привлекла внимание многих выдающихся математиков того времени.
В то время, когда звезды математики сияли ярче всего, Андре Вейль, Александр Гротендик, Жан-Пьер Серр, Майкл Атия и многие другие, в том числе Пьер Делинь, стоящий перед ним, прилагали все усилия к доказательству гипотезы Вейля.
В конце концов, Делинь стал математиком, одержавшим победу и получившим премию Филдса.
Только вот учитель Делиня, Гротендик, не был слишком доволен его доказательством.
Потому что Гротендик сам всегда пропагандировал использование очень абстрактных и обобщённых методов для решения задач, чтобы сделать доказательства более чистыми, а также обладающими высокой степенью универсальности и элегантности.
В то время как метод доказательства Делиня использовал больше конкретных и технических средств, включая l-ин гомологию и теорию унификации, Гротендик считал такой подход более похожим на «ремонт» или «хитрое приспособление», а не на демонстрацию внутренней силы и красоты теории.
В этом случае можно сказать, что у Гротендика были собственные уникальные математические и философские взгляды, которые трудно представить другим.
Столкнувшись с неудовлетворением учителя, Делинь в итоге почувствовал себя немного обиженным. На протяжении многих лет он также пытался доказать свою правоту, опираясь на идеи Гротендика.
К сожалению, до конца жизни Гротендику так и не удалось добиться успеха.
Даже по сей день ни одному математику не удалось это сделать.
Однако сегодня...
Бомбьери, глядя на метод, написанный Сяо И на доске, всё больше и больше удивлялся.
Если даже это возможно, то для алгебраической геометрии мир действительно перевернётся.
То же самое чувство охватило многих учёных, присутствовавших в аудитории.
Выражение Фартинга было очень серьезным, он с utmost вниманием следил за выводами Сяо И, а рядом стоящий Шольце был потрясен и не мог поверить своим глазам. Теорема Хоча как один из самых важных математических инструментов в алгебраической геометрии сделала огромный вклад в исследования этой области.
Сейчас метод Сяо И не только делает теорему Хоча более сжатой, но и позволяет использовать её в сочетании с теорией вершинных алгебр для достижения более значимых результатов.
В частности, теория вершинных алгебр сама по себе может быть использована для изучения программы Ландау–Реннера. Например, ее можно использовать в сочетании с аффинными Ли-алгебрами и W-алгебрами, с вершинными операторными алгебрами и самосопряжёнными формами, или связывать S-дуальность с дуальностью Ландау–Реннера.
Штурц невольно вздохнул:
— Этот парень... он творит чудеса!
Когда математики были поражены этой теорией, математики-физики тоже не могли успокоиться.
Топологическая алгебра изначально возникла в физике, но затем ученые обнаружили, что она может играть огромную роль и в чистой математике. Именно поэтому физика является одним из ключевых факторов развития математики.
Но для этих математиков-физиков их больше волнует, насколько мощным инструментом для теоретических исследований в физике может стать топологическая алгебра с интегрированной теорией Хоха.
Поэтому в их сердцах было не меньше волнения, чем у тех математиков.
По всей видимости, во всем зале стоял лишь Сяо И. Его голос оставался таким же обычным, словно он не подозревал, какое огромное влияние окажут его слова на два научных сообщества.
В этот момент он завершал работу над последним доказательством.
— В конце концов, используя метод анализа Хоч-вершинной алгебры, мы сможем легко доказать ранее выдвинутую мною теорему.
— На G существует ненулевой заряд c, поэтому это эквивалентно тому, что состояние наименьшей энергии возбуждения поля Ян–Миллса A имеет строго положительное значение разрыва массы.
— Вот и все. Сяо И широко расставил руки и сказал:
- Мы завершили доказательство существования поля Ян–Миллса и проблемы разрыва массы
И после этого он немного помолчал.
А учёные в зале молчали, словно не веря своим ушам, как рыба.
Но Сяо И просто улыбнулся и продолжил:
— В заключение, с помощью метода хоч-топологической алгебры мы можем без труда распространить структуру Хоча на квантовую теорию поля.
Он быстро продемонстрировал на доске два шага и вскоре без труда завершил этот этап.
Однако этим не всё. Он ещё несколько шагов сделал по доске, и эти шаги сразу же заставили физиков в зале напрячься.
Это выражение нового типа частицы!
— Да, именно так. С помощью этого нового метода… эй, я назову его квантовой теорией Хоча, мы сможем легко вывести совершенно новый тип частицы.
— Можно видеть, что она имеет общее происхождение с X-полем. Поэтому пока назову ее X-частицей. Что касается возможности обнаружения ее в будущем, это зависит от усилий физиков.
Говоря последнюю фразу, он сделал это с лёгкостью. Затем Сяо И положил чёрную доску в руки и повернулся к аудитории.
— Итак, мой доклад окончен.
Спасибо за ваше терпение.
Сяо И учтиво поклонился.
В зале наступила мгновенная тишина, словно воздух застыл, а затем раздались бурные аплодисменты.
Как будто хотели снять крышу с этого концертного зала.
Математики и физики взволнованно встали, чтобы выразить Сяо И всю свою признательность.
Они уже могли видеть, что этот доклад станет настоящим праздником для математиков и физиков!