Глава 1 Задача на стене коридора
Что? Уже кто-то решил задачу с доски в коридоре?
Э? Правда? Давайте посмотрим!
В каждом классе третьего года обучения средней школы при университете науки и технологий города Фэйши происходили подобные разговоры.
В одно мгновение все ученики третьего курса, находившиеся в напряжённой подготовке к экзаменам, которые предстояли через три месяца, одновременно остановились и бросились из своих аудиторий к углу коридора учебного корпуса.
В этом углу стояла небольшая доска с написанной на ней математической задачей.
Для конечного непустого множества *H*, состоящего из натуральных чисел, обозначим gcd(*H*) наибольшим общим делителем всех элементов *H*. Докажите: для любого конечного непустого подмножества *A* положительных целых чисел выполняется ∑N∈A (-2)|N|-1gcd(*H*) > 0.
Эта маленькая доска с задачей появилась в этом углу сегодня утром. Весь день почти все ученики третьего курса приходили посмотреть и попытаться решить её.
Однако ни до сегодняшнего вечера никто не мог решить эту задачу, поставленную на стене коридора.
Эта задача была очень сложной; она соответствовала уровню задач для математических олимпиад. Без специальной подготовки в области математических соревнований её было практически невозможно решить.
Даже у тех, кто прошел подготовку в области математических соревнований, но не обладает достаточной силой, решить эту задачу было невозможно. Уже есть участники математических олимпиад, даже победители прошлого года на национальной олимпиаде по математике среди школьников, которые заявляют, что не могут ее решить.
Но в этот момент на маленькой доске, где раньше была только задача, появилось очень аккуратное решение.
И оно было очень кратким, всего лишь из шести строк.
- Удивительно! Оказывается, можно так решить!
- Что такое теорема Безута? Я о ней никогда не слышал.
- А где здесь красота? Расскажи мне, я ничего не понимаю!
Среди собравшихся учеников раздавались многочисленные обсуждения. Кто-то смотрел с удивлением, кто-то был ошеломлён, а кто-то просто ничего не понимал.
Разные люди видят вещи по-разному, и то, что понятно одному, может быть непонятно другому — это абсолютно нормально.
Но в этот момент, независимо от того, понимали они это или нет, у всех этих учеников было одно общее качество: ни один из них до этого момента не смог решить эту задачу. Это создавало яркий контраст со студентом, решившим её.
Вот это круто! Он так быстро решил задачу, значит, у него есть шанс поступить в университет науки и технологий по программе самостоятельного зачисления.
Да, ведь эта задача была составлена профессором Лю, приехавшим из университета науки и технологий. Он сказал, что если кто-нибудь сможет решить эту задачу, то получит возможность поступить в университет науки и технологий по программе самостоятельного зачисления и снижение баллов при поступлении.
Это просто здорово!
В глазах этих третьикурсников промелькнуло зависть.
Как ученики средней школы при университете науки и технологий, они прекрасно знали этот университет. Как один из ведущих вузов страны, входящий в C9 лигу, для большинства студентов Кодафучжонга, кроме тех, кто уже уверенно мог поступить в топовые вузы, университет науки и технологий был просто мечтой.
Если бы они смогли поступить в университет науки и технологии по программе самостоятельного зачисления, это было бы гораздо проще. А если учесть возможность снижения баллов при поступлении после решения этой задачи, то это становилось ещё более привлекательным.
Можно с уверенностью сказать, что подавляющее большинство учеников, присутствовавших в этот момент, задумалось о поступлении в университет науки и технологий.
Но сейчас единственный вопрос, который волновал всех, — кто же этот студент, решивший эту задачу?
На месте собравшихся учеников никто не вызвался заявить, что именно он решил задачу.
Что касается подделки...
Простите, но на них установлены камеры видеонаблюдения, и они не глупые.
Учитель пришёл, все расступитесь!
В этот момент к концу группы собравшихся учеников подошли учителя. Студенты расступились, чтобы дать им проход.
Впереди шел учитель, которого все ученики хорошо знали – их классный руководитель Чэнь Лян. В этот момент он улыбался и обратился к мужчине рядом с собой: — Профессор Лю, вы не забыли о том, что обещали вчера? Дайте шанс тому студенту, который решил задачу.
Конечно, этот мужчина рядом с ним — это и есть профессор Лю Бинь, приехавший из университета науки и технологий.
Профессор Лю Бинь улыбнулся и сказал: — Чэнь-руководитель, я же не могу вам солгать. Так как наши две школы сотрудничают тесно, в плане ресурсов мы всегда стараемся помогать друг другу. Если кто-то действительно решил задачу, то я обязательно выполню свое обещание.
Чэнь Лян рассмеялся и кивнул в ответ:
-Отлично! Отлично!
Для него, как классного руководителя, возможность помочь одному из своих учеников поступить в такой престижный университет, как университет науки и технологий, была большой победой.
Чэнь Лян рассмеялся и кивнул:
-Хорошо, тогда хорошо.
Для него, как руководителю класса, возможность отправить ещё одного своего ученика в такой престижный университет, как Колледж науки и технологий, считалась большим достижением.
В это время они наконец пробрались сквозь толпу учеников и подошли к маленькой доске.
Лю Бинь подошёл вперёд и начал осматривать обстановку.
Эта задача была составлена им, а помимо должности профессора математики Колледжа науки и технологий, он ещё занимал пост преподавателя в группе составителей задач по математике национального конкурса.
Ежегодно на национальном конкурсе по математике, проводимом в Китае, в заданиях обычно присутствуют задачи его авторства. Он также принимал участие в работе над задачами для международной олимпиады по математике (IMO).
Поэтому он прекрасно знал, насколько сложна задача, которую он поставил.
Иначе, ведь в такой престижной школе, как Прикреплённая средняя школа Колледжа науки и технологий, столько талантливых учеников не могли бы так долго разбираться с этой задачей.
Однако его очень радовало то, что в конце концов эта задача всё же была решена.
И ещё...
... очень красиво!
Эта задача в его собственном решении заняла десять строк, а на этой маленькой доске всего шесть.
В его доказательстве не была использована теорема Безута.
В то же время с точки зрения других самое гениальное в этом доказательстве — применение теоремы Безута. Но как профессор математики и опытный составитель задач Лю Бинь видел ещё одно замечательное место: вставка теоремы Безута была сделана очень точно, именно поэтому удалось решить задачу всего за шесть строк.
Просто, ясно и наглядно!
Хорошо, очень хорошо.
Лю Бинь удовлетворенно кивнул, затем повернулся к присутствующим ученикам и спросил:
- Кто из вас решил эту задачу? Вы наверняка знаете об награде за ее решение. Сейчас расскажите мне о своем подходе — эта награда достанется вам
Ученики в зале тут же зашевелились и переглядывались, бросая взгляды друг на друга с завистью, пытаясь найти того, кто бы поднимет руку.
Но спустя довольно продолжительное время никто не пожелал вызваться.
Ситуация стала несколько неловкой.